3 Un conjunto $M$ de elementos $u, v, w$ se denomina semigrupo si en él está definida una operación que asigna unívocamente un elemento $w$ de $M$ a cada par ordenado $(u, v)$ de elementos de $M$ (se escribe $u \otimes v = w$) y si esta operación algebraica es asociativa, es decir, si para todos los elementos $u, v, w$ de $M$: $$(u \otimes v) \otimes w = u \otimes (v \otimes w).$$ Sea ahora $c$ un número real positivo y sea $M$ el conjunto de todos los números reales no negativos que son menores que $c$. Para cada par de números $u, v$ de $M$ definimos: $$u \otimes v = \dfrac{u + v}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}$$ Investigue a) si $M$ es un semigrupo; b) si este semigrupo es regular, es decir, si de $u \otimes v_1 = u \otimes v_2$ siempre se sigue $v_1 = v_2$ y de $v_1 \otimes u = v_2 \otimes u$ también se sigue $v_1 = v_2$.

2 Dada una recta $g$ y un segmento $AB$, los cuales no yacen en el mismo plano, encuentre un punto $C$ de $g$ tal que el perímetro del triángulo $ABC$ sea lo más pequeño posible.

1 Determine todas las cuádruplas ordenadas de números reales $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ para las cuales el siguiente sistema de ecuaciones existe y se cumple: $$x_1 + ax_2 + x_3 = b $$ $$x_2 + ax_3 + x_4 = b $$ $$x_3 + ax_4 + x_1 = b $$ $$x_4 + ax_1 + x_2 = b$$ Aquí $a$ y $b$ son números reales (¡distinción de casos!).

535 Encuentre todos los enteros $a, b, c, d$ tales que $$\begin{cases} ab - 2cd = 3 \\ ac + bd = 1\end{cases}$$

4 Resuelva el sistema de ecuaciones: $$|\log_2(x + y)| + | \log_2(x - y)| = 3$$ $$xy = 3$$

545 Los números $1, 2, 3, ... , n$ están escritos en una pizarra (donde $n \ge 3$ ). Un movimiento consiste en reemplazar dos números por su suma y su diferencia no negativa. Una serie de movimientos hace que todos los números sean iguales a $k$. Encuentre todos los valores posibles de $k$.

1 Todo número decimal periódico no negativo representa un número racional, que también puede representarse en la forma $\frac{p}{q}$ ($p$ y $q$ son números naturales y coprimos, $p \ge 0$, $q > 0$). Sean $a_1$, $a_2$, $a_3$ y $a_4$ dígitos para representar números en el sistema decimal. Sea $a_1 \ne a_3$ o $a_2 \ne a_4$. Demuestre que para los números: $z_1 = 0, \overline{a_1a_2a_3a_4} = 0,a_1a_2a_3a_4a_1a_2a_3a_4...$ $z_2 = 0, \overline{a_4a_1a_2a_3}$ $z_3 = 0, \overline{a_3a_4a_1a_2}$ $z_4 = 0, \overline{a_2a_3a_4a_1}$ en la representación anterior $p/q$ siempre tienen el mismo denominador.

547 $ABC$ es un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. El circuncircunferencia de $ABO$ corta a $AC$ y $BC$ en $M$ y $N$. Demuestre que los circunradios de $ABO$ y $MNC$ son iguales.

511 Demuestre que $x^4 > x - \frac12$ para todo número real $x$.

1 Investigue si entre todos los pares $(a, b)$ de números reales positivos, existen pares para los cuales $$f(a, b) = \frac{a^4}{b^4} + \frac{b^4}{a^4} -\frac{a^2}{b^2} -\frac{b^2}{a^2}+ \frac{a}{b}+ \frac{b}{a}$$ asume un valor mínimo. Si es así, indique este valor mínimo.