2 Existe un círculo $k$ en un plano con centro $M$ y radio $r$. La siguiente ilustración, mediante la cual a cada punto $P \ne M$ se le asigna un punto $P'$, se denomina "reflexión respecto al círculo $k$": (1) $P'$ yace sobre el rayo que emana de $M$ y pasa por $P$. (2) Se cumple $MP \cdot MP' = r^2$. a) Construya el punto reflejado $P'$ para cualquier punto dado $P \ne M$ dentro de $k$. b) Sea otro círculo $k_1$ dado arbitrariamente, pero tal que $M$ se encuentre fuera de $k_1$. Construya $k'_1$, es decir, el conjunto de todos los puntos reflejados $P'$ de los puntos $P$ de $k_1$.

Un grupo de 30 amigos participa en un campamento internacional. Algunos de ellos hablan alemán, otros ruso y otros francés. Algunos amigos hablan solo un idioma, otros dos idiomas y algunos incluso tres idiomas. El número de amigos que hablan exactamente dos idiomas es más del doble, pero menos del triple del número de los que hablan solo un idioma. El número de participantes que hablan los tres idiomas es igual al número de los que hablan solo un idioma. El número de amigos que solo hablan alemán es mayor que el número de los que solo hablan ruso, pero menor que el número de los que solo hablan francés. El número de aquellos que solo hablan alemán es menor que el triple del número de aquellos que solo hablan ruso. Determine el número de todos los miembros de este grupo que solo hablan alemán, solo ruso, solo francés y los tres idiomas.

4 Resuelva el sistema de ecuaciones: $$|\log_2(x + y)| + | \log_2(x - y)| = 3$$ $$xy = 3$$

5 Demuestre que para todo número real $x$ se cumple: $$\sin 5x = 16 \sin x \cdot \sin \left(x -\frac{\pi}{5} \right) \cdot \sin\left(x -\frac{2\pi}{5} \right) \sin \left(x +\frac{2\pi}{5} \right) $$

¿Cuál de todos los planos que contienen una misma diagonal de un cubo de longitud de arista $a$ corta al cubo produciendo una figura de sección con el área más pequeña? Calcule el área de dicha figura de sección.

559 $E$ es un punto en la diagonal $BD$ del cuadrado $ABCD$. Demuestre que los puntos $A, E$ y los circuncentros de $ABE$ y $ADE$ forman un cuadrado.

3 Un conjunto $M$ de elementos $u, v, w$ se denomina semigrupo si en él está definida una operación que asigna unívocamente un elemento $w$ de $M$ a cada par ordenado $(u, v)$ de elementos de $M$ (se escribe $u \otimes v = w$) y si esta operación algebraica es asociativa, es decir, si para todos los elementos $u, v, w$ de $M$: $$(u \otimes v) \otimes w = u \otimes (v \otimes w).$$ Sea ahora $c$ un número real positivo y sea $M$ el conjunto de todos los números reales no negativos que son menores que $c$. Para cada par de números $u, v$ de $M$ definimos: $$u \otimes v = \dfrac{u + v}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}$$ Investigue a) si $M$ es un semigrupo; b) si este semigrupo es regular, es decir, si de $u \otimes v_1 = u \otimes v_2$ siempre se sigue $v_1 = v_2$ y de $v_1 \otimes u = v_2 \otimes u$ también se sigue $v_1 = v_2$.

576 Si usted tiene un algoritmo para encontrar todos los ceros reales de cualquier polinomio cúbico, ¿cómo encuentra las soluciones reales de $x = p(y), y = p(x)$, donde $p$ es un polinomio cúbico?

1 Todo número decimal periódico no negativo representa un número racional, que también puede representarse en la forma $\frac{p}{q}$ ($p$ y $q$ son números naturales y coprimos, $p \ge 0$, $q > 0$). Sean $a_1$, $a_2$, $a_3$ y $a_4$ dígitos para representar números en el sistema decimal. Sea $a_1 \ne a_3$ o $a_2 \ne a_4$. Demuestre que para los números: $z_1 = 0, \overline{a_1a_2a_3a_4} = 0,a_1a_2a_3a_4a_1a_2a_3a_4...$ $z_2 = 0, \overline{a_4a_1a_2a_3}$ $z_3 = 0, \overline{a_3a_4a_1a_2}$ $z_4 = 0, \overline{a_2a_3a_4a_1}$ en la representación anterior $p/q$ siempre tienen el mismo denominador.

1 a) Demuestre que cuando se divide cualquier número primo por $30$, el resto es $1$ o es un número primo. b) ¿Se aplica esto también al dividir un número primo por $60$? ¡Justifique su respuesta!