2 Considere el rectángulo $ ABCD $ y los puntos $ M,N,P,Q $ en los segmentos $ AB,BC,CD, $ y $ DA, $ respectivamente, excluyendo sus extremos. Denotemos con $ p_{\square} $ y $ A_{\square} $ el perímetro y el área de $ \square, $ respectivamente. Demuestre que: a) $ p_{MNPQ}\ge AC+BD. $ b) $ p_{MNPQ} =AC+BD\implies A_{MNPQ}\le \frac{A_{ABCD}}{2} . $ c) $ p_{MNPQ} =AC+BD\implies MP^2 +NQ^2\ge AC^2. $ Dan Brânzei y Gheorghe Iurea

19 Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo número real $1 \neq s > 0$ y todo racional $0 < a \leq 1$. Amir

24 Demuestre que si una persona a tiene infinitos descendientes (hijos, sus hijos, etc.), entonces a tiene una sucesión infinita $a_0, a_1, \ldots$ de descendientes (es decir, $a = a_0$ y para todo $n \geq 1$, $a_{n+1}$ es siempre un hijo de $a_n$). Se asume que nadie puede tener infinitos hijos. Variante 1. Demuestre que si a tiene infinitos ancestros, entonces a tiene una sucesión infinita descendente de ancestros (es decir, $a_0, a_1, \ldots$ donde $a = a_0$ y $a_n$ es siempre un hijo de $a_{n+1}$). Variante 2. Demuestre que si alguien tiene infinitos ancestros, entonces no todas las personas pueden descender de A(dam) y E(ve). Amir

22 Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para todo par $x \in M, y \in M$ con $x < y$, existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y$. Amir

3 Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos en una recta $\ell$, tales que $AB = BC = CD$. En uno de los semiplanos determinados por la recta $\ell$, se eligen los puntos $P$ y $Q$ de tal manera que el triángulo $CPQ$ es equilátero con sus vértices nombrados en sentido horario. Sean $M$ y $N$ dos puntos en el plano tales que los triángulos $MAP$ y $NQD$ son equiláteros (los vértices también están nombrados en sentido horario). Encuentre la medida del ángulo $\angle MBN$.

17 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y tal que una de sus raíces es igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

14 Determine todos los valores reales del parámetro $a$ para los cuales la ecuación \[16x^4 -ax^3 + (2a + 17)x^2 -ax + 16 = 0\] tiene exactamente cuatro raíces reales distintas que forman una progresión geométrica. Amir

13 Una pirámide truncada $n$-gonal regular está circunscrita alrededor de una esfera. Denotemos las áreas de la base y de las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ y $S$, respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos de tangencia de la esfera y las caras laterales de la pirámide. Demuestre que \[\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.\] Amir

25 Se dan cuatro círculos distintos $C, C_1, C_2, C_3$ y una recta $L$ en el plano tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada uno de los círculos $C_1, C_2, C_3$ es tangente a los otros dos, así como a $C$ y a $L$. Suponiendo que el radio de $C$ es $1$, determine la distancia entre su centro y $L$.