7 Sean \(\alpha, \beta, \gamma\) las tres raíces reales de la ecuación \(x^3 - 2023x + 1 = 0\). En el triángulo \(ABC\), las pendientes de las rectas \(AB\), \(BC\) y \(CA\) son \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) respectivamente. Sean \(O\) y \(H\) el circuncentro y el ortocentro del triángulo, respectivamente. Entonces, la pendiente de \(OH\) es _______. Propuesto por Site Mu, Beijing 101 Middle School ys-lg

11 Sean \( z_1, z_2\in\mathbb C \) tales que \( |z_1 + 2z_2| \le 1 \) y \( |z_1^2+z_1z_2 + z_2^2| \le 1 \). Determine el valor máximo de \( \max\{|z_1|, |z_2|\} \). Propuesto por Yiyan Lin

44 Sean $A$ y $B$ las posiciones de dos barcos $M$ y $N$, respectivamente, en el momento en que $N$ vio a $M$ moviéndose con velocidad constante $v$ siguiendo la línea $Ax$. En busca de ayuda, $N$ se mueve con velocidad $kv$ ($k < 1$) a lo largo de la línea $By$ con el fin de encontrarse con $M$ lo antes posible. Denotemos por $C$ el punto de encuentro de los dos barcos, y establezcamos \[AB = d, \angle BAC = \alpha, 0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2}.\] Determine el ángulo $\angle ABC = \beta$ y el tiempo $t$ que $N$ necesita para encontrarse con $M$. Amir

3 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen la igualdad $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$. Encuentre el valor mínimo posible de la expresión $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.

6 Sean $p, q, n$ tres enteros positivos tales que $p + q < n$. Sea $(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_{0} = x_{n} = 0$, y (b) Para cada $i$ con $1 \leq i \leq n$, se tiene que $x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $x_{i} - x_{i - 1} = -q$. Demuestre que existen índices $i < j$ con $(i, j) \neq (0, n)$, tales que $x_{i} = x_{j}$.

4 Baihao Lan tiene $2025$ cuentas de Shuzhimi. Cada cuenta está vinculada unilateralmente a exactamente otra cuenta entre estas $2025$ cuentas. Debido a la publicación excesiva, el profesor Duan Yang bloqueó $1000$ de estas cuentas. A las $1025$ cuentas restantes se les asignaron permisos de habla de tal manera que, para cualesquiera dos cuentas no bloqueadas $X$ e $Y$, si $X$ está vinculada a $Y$, entonces $X$ e $Y$ deben tener el mismo permiso de habla. Encuentre el entero positivo más grande $M$ tal que, sin importar cómo estén vinculadas las $2025$ cuentas, el profesor Duan Yang pueda bloquear apropiadamente $1000$ cuentas y luego asignar a las cuentas restantes $M$ tipos diferentes de permisos de habla de acuerdo con el requisito anterior. Propuesto por Junlin Wang

8 En un juego de "Pasar el pañuelo", $2024$ estudiantes se encuentran en los vértices distintos de un $2024$-gono regular. Sean \( A \) y \( B \) un par de puntos diametralmente opuestos en el $2024$-gono regular (es decir, \( A \) y \( B \) están separados por $1011$ vértices en cualquier dirección). Inicialmente, el pañuelo está en el punto \( A \). Cada segundo, el pañuelo se pasa con igual probabilidad a una de las dos posiciones adyacentes. El número esperado de segundos que tarda el pañuelo en llegar a \( B \) por primera vez es ______. ys-lg

2 Sean $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ números reales positivos, y sea $S_k$ la suma de los productos de $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ , $a_n$ tomados de $k$ en $k$. Demuestre que \[ S_k S_{n-k} \geq {n \choose k}^2 a_1 a_2 \cdots a_n \] para $k = 1$ , $2$ , $\cdots$ , $n - 1$ .

3 Sin solaparse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no necesariamente todas del mismo tamaño. [asy] unitsize(.85cm); draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1)); draw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed); label("\footnotesize $a$",(0.5,0),S); label("\footnotesize $a$",(0,0.5),W); label("\footnotesize $a$",(1,0.5),E); label("\footnotesize $a$",(0,1.5),E); label("\footnotesize $a$",(1,1.5),W); label("\footnotesize $a$",(-0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(1.5,2),N); [/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentre el valor más pequeño de $\lambda$ tal que toda configuración de baldosas de este tipo tenga un área total menor que $\lambda$.

1 Encuentre todos los pares de números naturales $ (a, b)$ tales que $ 7^a - 3^b$ divide a $ a^4 + b^2$ . Autor: Stephan Wagner, Austria Dida