24 Demuestre que si una persona a tiene infinitos descendientes (hijos, sus hijos, etc.), entonces a tiene una sucesión infinita $a_0, a_1, \ldots$ de descendientes (es decir, $a = a_0$ y para todo $n \geq 1$, $a_{n+1}$ es siempre un hijo de $a_n$). Se asume que nadie puede tener infinitos hijos. Variante 1. Demuestre que si a tiene infinitos ancestros, entonces a tiene una sucesión infinita descendente de ancestros (es decir, $a_0, a_1, \ldots$ donde $a = a_0$ y $a_n$ es siempre un hijo de $a_{n+1}$). Variante 2. Demuestre que si alguien tiene infinitos ancestros, entonces no todas las personas pueden descender de A(dam) y E(ve). Amir

23 Determine la suma de todos los enteros positivos cuyos dígitos (en base diez) forman una sucesión estrictamente creciente o una sucesión estrictamente decreciente. Amir

22 Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para todo par $x \in M, y \in M$ con $x < y$, existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y$. Amir

21 Todos los lados y todas las diagonales del hexágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ están coloreados de azul o rojo de tal manera que cada triángulo $A_jA_kA_m, 1 \leq j < k < m\leq 6$ tiene al menos un lado rojo. Sea $R_k$ el número de segmentos rojos $A_kA_j, (j \neq k)$. Demuestre la desigualdad \[\sum_{k=1}^6 (2R_k-7)^2 \leq 54.\] Amir

20 Considere un cubo $C$ y dos planos $\sigma, \tau$, los cuales dividen el espacio euclidiano en varias regiones. Demuestre que el interior de al menos una de estas regiones interseca al menos tres caras del cubo. Amir

19 Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo número real $1 \neq s > 0$ y todo racional $0 < a \leq 1$. Amir

18 Se le da un sistema algebraico que admite suma y multiplicación para el cual todas las leyes de la aritmética ordinaria son válidas, excepto la conmutatividad de la multiplicación. Demuestre que \[(a + ab^{-1} a)^{-1}+ (a + b)^{-1} = a^{-1},\] donde $x^{-1}$ es el elemento para el cual $x^{-1}x = xx^{-1} = e$, donde $e$ es el elemento del sistema tal que para todo $a$ se cumple la igualdad $ea = ae = a$. Amir

17 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

16 Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes enteros, coeficiente principal $1$ y tal que una de sus raíces es igual al producto de las otras dos. Demuestre que $2p(-1)$ es un múltiplo de $p(1)+p(-1)-2(1+p(0)).$ Amir

15 Demuestre que el conjunto $S$ de números naturales $n$ para los cuales $\frac{3}{n}$ no puede escribirse como la suma de dos recíprocos de números naturales ($S =\left\{n |\frac{3}{n} \neq \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \text{ para cualesquiera } p, q \in \mathbb N \right\}$) no es la unión de un número finito de progresiones aritméticas. Amir