4 Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

5 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A}, R_{C}, R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB, BCD, DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E} \geq \frac{P}{2}. \]

6 Sean $p, q, n$ tres enteros positivos tales que $p + q < n$. Sea $(x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $x_{0} = x_{n} = 0$, y (b) Para cada $i$ con $1 \leq i \leq n$, se tiene que $x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $x_{i} - x_{i - 1} = -q$. Demuestre que existen índices $i < j$ con $(i, j) \neq (0, n)$, tales que $x_{i} = x_{j}$.

1 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Una recta que pasa por $D$ corta al lado $AB$ en $X$ y a la semirrecta $AC$ en $Y$. El circuncírculo del triángulo $BXD$ corta al circuncírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ nuevamente en el punto $Z$ distinto del punto $B$. Las rectas $ZD$ y $ZY$ cortan a $\omega$ nuevamente en $V$ y $W$ respectivamente. Demuestre que $AB = V W$. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia.

3 Se dice que una sucesión de números reales $a_0, a_1, . . .$ es buena si se cumplen las siguientes tres condiciones. (i) El valor de $a_0$ es un entero positivo. (ii) Para cada entero no negativo $i$ tenemos $a_{i+1} = 2a_i + 1 $ o $a_{i+1} =\frac{a_i}{a_i + 2} $. (iii) Existe un entero positivo $k$ tal que $a_k = 2014$. Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que existe una sucesión buena $a_0, a_1, . . .$ de números reales con la propiedad de que $a_n = 2014$. Propuesto por Wang Wei Hua, Hong Kong

4 Sea $n$ un entero positivo. Considere $2n$ rectas distintas en el plano, de las cuales ninguna es paralela a otra. De las $2n$ rectas, $n$ están coloreadas de azul y las otras $n$ están coloreadas de rojo. Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de todos los puntos en el plano que yacen sobre al menos una recta azul, y $\mathcal{R}$ el conjunto de todos los puntos en el plano que yacen sobre al menos una recta roja. Demuestre que existe un círculo que interseca a $\mathcal{B}$ en exactamente $2n - 1$ puntos, y que también interseca a $\mathcal{R}$ en exactamente $2n - 1$ puntos. Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

1 Resuelva la ecuación \[ 3^x - 5^y = z^2 \] en enteros positivos. Grecia

3 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen la igualdad $x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$. Encuentre el valor mínimo posible de la expresión $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y}$.

45 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje los triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia el exterior y los otros dos hacia el interior. Demuestre que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$? Amir

2 Sea $S = \{2, 3, 4, \ldots\}$ el conjunto de los enteros mayores o iguales a $2$. ¿Existe una función $f : S \to S$ tal que \[f (a)f (b) = f (a^2 b^2 )\text{ para todo }a, b \in S\text{ con }a \ne b?\] Propuesto por Angelo Di Pasquale, Australia