8 En un juego de "Pasar el pañuelo", $2024$ estudiantes se encuentran en los vértices distintos de un $2024$-gono regular. Sean \( A \) y \( B \) un par de puntos diametralmente opuestos en el $2024$-gono regular (es decir, \( A \) y \( B \) están separados por $1011$ vértices en cualquier dirección). Inicialmente, el pañuelo está en el punto \( A \). Cada segundo, el pañuelo se pasa con igual probabilidad a una de las dos posiciones adyacentes. El número esperado de segundos que tarda el pañuelo en llegar a \( B \) por primera vez es ______. ys-lg