1 Todo número decimal periódico no negativo representa un número racional, que también puede representarse en la forma $\frac{p}{q}$ ($p$ y $q$ son números naturales y coprimos, $p \ge 0$, $q > 0$). Sean $a_1$, $a_2$, $a_3$ y $a_4$ dígitos para representar números en el sistema decimal. Sea $a_1 \ne a_3$ o $a_2 \ne a_4$. Demuestre que para los números: $z_1 = 0, \overline{a_1a_2a_3a_4} = 0,a_1a_2a_3a_4a_1a_2a_3a_4...$ $z_2 = 0, \overline{a_4a_1a_2a_3}$ $z_3 = 0, \overline{a_3a_4a_1a_2}$ $z_4 = 0, \overline{a_2a_3a_4a_1}$ en la representación anterior $p/q$ siempre tienen el mismo denominador.

3 Se debe demostrar que para todo entero $n \ge 1$, la función $f$ con $$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x_n}{n!}$$ puede tener a lo sumo un cero real.

2 Dada una recta $g$ y un segmento $AB$, los cuales no yacen en el mismo plano, encuentre un punto $C$ de $g$ tal que el perímetro del triángulo $ABC$ sea lo más pequeño posible.

2 Sea $n$ un entero positivo, $h$ un número real y $f(x)$ un polinomio (función racional entera) con coeficientes reales de grado $n$, el cual no tiene ceros reales. Demuestre que entonces el polinomio $$F(x) = f(x) + h f'(x) + h^2 f''(x) +... + h^n f^{(n)}(x)$$ tampoco tiene ceros reales.

Se dan 579 $1992$ vectores en el plano. Dos jugadores eligen vectores no seleccionados de forma alternativa. El ganador es aquel cuyos vectores sumen un vector con mayor magnitud (o empatan si las magnitudes son iguales). ¿Puede el primer jugador evitar siempre perder?

535 Encuentre todos los enteros $a, b, c, d$ tales que $$\begin{cases} ab - 2cd = 3 \\ ac + bd = 1\end{cases}$$

4 Determine todos los pares $(f, g)$ de funciones que están definidas para todos los números reales $x$ distintos de $-1$, $0$ y $1$ y que satisfacen las siguientes ecuaciones para todos estos $x$: $$x \cdot f(x) - \frac{1}{x} \cdot g\left(\frac{1}{x} \right) =1$$ $$\frac{1}{x^2} \cdot f(x)=x^2 \cdot g(x)$$

6 Se debe demostrar que para toda cuádrupla de números reales positivos $a, b, c, d$ se cumple la relación $$\sqrt[3]{\frac{abc + abd + acd + bcd}{4}} \le \sqrt{\frac{ab + ac + ad + bc + bd + cd}{6}},$$ y se debe investigar en qué casos ocurre la igualdad.

2 Si $x$ es un número real, sea $[x]$ el mayor entero que no es mayor que $x$. (Por ejemplo, $[\pi] = 3$, $[0,7] = 0$, $[-0,7] = -1$.) a) Demuestre que existen dos números racionales $a, b$ tales que los números $$c_n = a \cdot n + b - [a\cdot n + b], \,\,\, (n = 1, 2, ...)$$ forman una sucesión no constante y que todos los $c_n \ne 0$. b) Demuestre que para cualesquiera dos números racionales $a, b$, la sucesión definida en a) tiene un mínimo.

2 Determine cuáles de los números primos $2,3,5,7,11,13,109,151,491$ dividen a $z =1963^{1965} -1963$ .