540 $ABCD$ es un rectángulo. Se eligen los puntos $K, L, M, N$ sobre $AB, BC, CD, DA$ respectivamente, de tal manera que $KL$ es paralelo a $MN$ y $KM$ es perpendicular a $LN$. Demuestre que la intersección de $KM$ y $LN$ se encuentra sobre $BD$.

1 Demuestre que para todos los números reales $a, b, c, d$ con $0 < a \le b \le c \le d$ se cumple $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a} \ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{d} $$

3 Sea $P$ un punto en el interior de un triángulo equilátero $ABC$, el cual tiene distancias $PA = u$, $PB = v$, $PC = w$ desde los vértices de este triángulo. Calcule la longitud del lado $s$ del triángulo equilátero $ABC$ en términos de $u, v, w$.

2 Los ángulos interiores de un triángulo han sido medidos. La suma de los valores medidos $u, v, w$ obtenidos (como aproximaciones de las medidas reales de los ángulos interiores) es $180^o + \delta$ con $\delta \ne 0^o$. Se deben utilizar tres valores de corrección $x, y, z$ para modificar los valores medidos de tal manera que la suma de los valores resultantes $u + x$, $v + y$, $w + z$ sea igual a $180^o$. Demuestre que para todos los posibles valores de corrección $x, y, z$ bajo estas condiciones, el valor $S = x^2 + y^2 + z^2$ es mínimo si y solo si $x = y = z = -\frac{\delta}{3}$.

550 a) Sean $r_1, r_2, ... , r_{100}, c_1, c_2, ... , c_{100}$ números reales distintos. El número $r_i + c_j$ está escrito en la posición $i, j$ de una matriz de $100 \times 100$. El producto de los números en cada columna es $1$. Demuestre que el producto de los números en cada fila es $-1$. b) Sean $r_1, r_2, ... , r_{2n}, c_1, c_2, ... , c_{2n}$ números reales distintos. El número $r_i + c_j$ está escrito en la posición $i, j$ de una matriz de $2n \times 2n$. El producto de los números en cada columna es el mismo. Demuestre que el producto de los números en cada fila también es el mismo.

1 a) Demuestre que cuando se divide cualquier número primo por $30$, el resto es $1$ o es un número primo. b) ¿Se aplica esto también al dividir un número primo por $60$? ¡Justifique su respuesta!

564 Encuentre todos los $x, y$ reales tales que $$\begin{cases}(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) = 1+ y^7 \\ (1 + y)(1 + y^2)(1 + y^4) = 1+ x^7 \end{cases}$$

5 Si $P$ es un punto en el interior de un tetraedro regular $A_1A_2A_3A_4$, sean $x_1, x_2, x_3, x_4$ las distancias de $P$ a las cuatro caras del tetraedro. Sea $h$ la distancia de $A_4$ a la cara del triángulo $A_1A_2A_3$. a) Demuestre que existe exactamente un punto $P^*$ en el interior de $A_1A_2A_3A_4$ para el cual las cuatro distancias $x_1, x_2, x_3, x_4$ tienen el valor $\frac{h}{4}$. b) Demuestre que para todo punto $P$ en el interior del tetraedro, el producto $x_1x_2x_3x_4$ alcanza su valor máximo si y solo si $P$ coincide con el punto $P^*$ mencionado en (a).

546 La figura de abajo está cortada a lo largo de las líneas en polígonos (que no necesitan ser convexos). Ningún polígono contiene un cuadrado de $2 \times 2$. ¿Cuál es el menor número posible de polígonos? [figura faltante]

5 Demuestre que para todo número real $x$ del intervalo $0 < x <\pi$ se cumple la desigualdad $$\sin x +\frac12 \sin 2x +\frac13 \sin 3x > 0$$