56 Sean $f(x) = ax^2 + bx+ c$ y $g(x) = cx^2 + bx + a$. Si $|f(0)| \leq 1, |f(1)| \leq 1, |f(-1)| \leq 1$, demuestre que para $|x| \leq 1$, (a) $|f(x)| \leq 5/4$, (b) $|g(x)| \leq 2$.

57 Sea $K$ un polígono convexo en el plano y suponga que $K$ está posicionado en el sistema de coordenadas de tal manera que \[\text{area } (K \cap Q_i) =\frac 14 \text{area } K \ (i = 1, 2, 3, 4, ),\] donde los $Q_i$ denotan los cuadrantes del plano. Demuestre que si $K$ no contiene ningún punto de red distinto de cero, entonces el área de $K$ es menor que $4.$ Amir

3 Un triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle C=90^o$ está inscrito en un círculo. Suponga que $K$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Sea $N$ el punto medio del segmento $AC$, y $M$ el punto de intersección del rayo $KN$ y el círculo. Las tangentes al círculo trazadas en $A$ y $C$ se cortan en $E$. Demuestre que $\angle EMK = 90^o$.

1 Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que, en una cuadrícula infinita, la unión de cualesquiera $100$ cuadrados de $2 \times 2$ siempre pueda ser cubierta por $n$ cuadrados de $2 \times 2$ disjuntos dos a dos. Propuesto por Xingtong Guo

2 Dado un entero positivo $n \geq 2$, encuentre el máximo número real positivo $C$ con la siguiente propiedad: Para cualesquiera $n$ números irracionales positivos $a_1 < a_2 < \dots < a_n$, si $a_n - a_1 \leq C$, entonces solo una cantidad finita de enteros no pueden expresarse de la forma $$\lfloor x_1 a_1 \rfloor + \lfloor x_2 a_2 \rfloor + \dots + \lfloor x_n a_n \rfloor, \quad x_1, x_2, \dots, x_n \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $x$. Propuesto por Tianqin Li y Cheng Jiang

6 Sea \( n \geq 3 \) un entero. Para polígonos convexos \( P_1, P_2, \cdots, P_n \) en el plano, donde \( P_i \) tiene \( a_i \) vértices ( \( 1 \leq i \leq n \) ), defina \[S = \{ G \mid G \text{ es el centroide de } A_1, A_2, \cdots, A_n \text{, donde } A_i \text{ es un vértice de } P_i \}.\] Demuestre que existe una constante real positiva \( C_n \) tal que para cualesquiera \( P_1, P_2, \cdots, P_n \), \[|S| \geq C_n (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{3}{n} - \frac{1}{n\cdot 2^{n-2}}}.\] Creado por Yuxing Ye

5 Sean $x, y$ números reales que satisfacen $x + y = 1197, \, x \geq 144, \, y \geq 105.$ El valor mínimo de $$\frac{2x^2}{\sqrt{x} - 12} + \frac{27y^2}{3\sqrt{13y} - 104}$$ es _______. ys-lg

7 Sean \(\alpha, \beta, \gamma\) las tres raíces reales de la ecuación \(x^3 - 2023x + 1 = 0\). En el triángulo \(ABC\), las pendientes de las rectas \(AB\), \(BC\) y \(CA\) son \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) respectivamente. Sean \(O\) y \(H\) el circuncentro y el ortocentro del triángulo, respectivamente. Entonces, la pendiente de \(OH\) es _______. Propuesto por Site Mu, Beijing 101 Middle School ys-lg

11 Sean \( z_1, z_2\in\mathbb C \) tales que \( |z_1 + 2z_2| \le 1 \) y \( |z_1^2+z_1z_2 + z_2^2| \le 1 \). Determine el valor máximo de \( \max\{|z_1|, |z_2|\} \). Propuesto por Yiyan Lin

1. La transformación $ n \to 2n - 1$ o $ n \to 3n - 1$, donde $ n$ es un entero positivo, se denomina 'cambio' de $ n$. Los números $ a$ y $ b$ se denominan 'similares' si existe un entero positivo que pueda obtenerse mediante un número finito de 'cambios' tanto de $ a$ como de $ b$. Encuentre todos los enteros positivos 'similares' a $ 2005$ y menores que $ 2005$.