6 Sea \( n \geq 3 \) un entero. Para polígonos convexos \( P_1, P_2, \cdots, P_n \) en el plano, donde \( P_i \) tiene \( a_i \) vértices ( \( 1 \leq i \leq n \) ), defina \[S = \{ G \mid G \text{ es el centroide de } A_1, A_2, \cdots, A_n \text{, donde } A_i \text{ es un vértice de } P_i \}.\] Demuestre que existe una constante real positiva \( C_n \) tal que para cualesquiera \( P_1, P_2, \cdots, P_n \), \[|S| \geq C_n (a_1 a_2 \cdots a_n)^{\frac{3}{n} - \frac{1}{n\cdot 2^{n-2}}}.\] Creado por Yuxing Ye