2 En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ se encuentra en el lado $BC$ y el punto $B_1$ se encuentra en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$, tal que $B_1$ se encuentra estrictamente entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C=\angle BAC$. De manera similar, sea $Q_1$ el punto en la recta $QA_1$, tal que $A_1$ se encuentra estrictamente entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q=\angle CBA$. Demuestre que los puntos $P, Q, P_1$ y $Q_1$ son concíclicos. Propuesto por Anton Trygub, Ucrania

30 Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en su interior tal que $\angle PAC = \angle PBC$. Las perpendiculares desde $P$ a $BC$ y $CA$ cortan a estas rectas en $L$ y $M$, respectivamente, y $D$ es el punto medio de $AB$. Demuestre que $DL = DM$. Amir

45 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje los triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia el exterior y los otros dos hacia el interior. Demuestre que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$? Amir

46 Demuestre que si se traza una diagonal en un cuadrilátero inscrito en un círculo, la suma de los radios de los círculos inscritos en los dos triángulos así formados es la misma, sin importar qué diagonal se trace. Amir

47 Evalúe $\sec'' \frac{\pi}4 +\sec'' \frac{3\pi}4+\sec'' \frac{5\pi}4+\sec'' \frac{7\pi}4$. (Aquí $\sec''$ significa la segunda derivada de $\sec$). Amir

1 Resuelva la ecuación \[ 3^x - 5^y = z^2 \] en enteros positivos. Grecia

48 Dada una sucesión finita de números complejos $c_1, c_2, \ldots , c_n$, demuestre que existe un entero $k$ ($1 \leq k \leq n$) tal que para toda sucesión finita de números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ con $1 \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$, se cumple la siguiente desigualdad: \[\left| \sum_{m=1}^n a_mc_m \right| \leq \left| \sum_{m=1}^k c_m \right|.\] Amir

49 Simplifique \[\sum_{k=0}^n \frac{(2n)!}{(k!)^2((n-k)!)^2}.\] Amir

50 Sea $O$ el punto medio del eje de un cilindro circular recto. Sean $A$ y $B$ puntos diametralmente opuestos de una base, y $C$ un punto del otro círculo base que no pertenece al plano $OAB$. Demuestre que la suma de los ángulos diedros del triedro $OABC$ es igual a $2\pi$. Amir

51 Sean $n$ números $x_1, x_2, \ldots, x_n$ elegidos de tal manera que $1 \geq x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq 0$. Demuestre que \[(1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^\alpha \leq 1 + x_1^\alpha+ 2^{\alpha-1}x_2^\alpha+ \cdots+ n^{\alpha-1}x_n^\alpha\] si $0 \leq \alpha \leq 1$. Amir