3 Dado un polígono regular de $2013$ lados, ¿cuántos triángulos isósceles existen cuyos vértices sean vértices del polígono dado y tengan un ángulo mayor a $120^o$? Nguyen Tien Lam, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói.

4 Llame a un subconjunto de dos elementos de $\mathbb{N}$ "lindo" si contiene exactamente un número primo y un número compuesto. Determine todos los polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tales que para todo subconjunto lindo $\{ p,q \}$, el subconjunto $\{ f(p) + q, f(q) + p \}$ sea también lindo. Propuesto por Valentio Iverson (Indonesia)

Sea $m \in \mathbb{N}$ tal que $\gcd(m,6)=1$. Sea $S_{m}$ el conjunto de números menores que $m$ y coprimos con $m$. Sea $\sum_{n \in S_{m}} \frac{1}{n} = \frac{A}{B}$, con $A, B \in \mathbb{N}$. Demuestre que $m^{2}$ divide a $A$.

Sea $S=\{1,2,3,...,n\}$ y sean ${A}_{1},{A}_{2},...,{A}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $k$ elementos. Sean ${B}_{1},{B}_{2},...,{B}_{m}$ subconjuntos de $S$ con $l$ elementos. Sea ${k}+{l}\le{n}$. Si para todo ${i}\neq{j}$ se cumple que ${A}_{i}\cap{B}_{i}=\emptyset$ y ${A}_{i}\cap{B}_{j}\neq\emptyset$, demuestre que ${m}\le\binom{k+l}{k}$.

2 Dada la sucesión $(t_n)$ definida como $t_0 = 0$ , $t_1 = 6$ , $t_{n + 2} = 14t_{n + 1} - t_n$ . Demuestre que para todo número $n \ge 1$ , $t_n$ es el área de un triángulo cuyas longitudes de lado son todas números enteros. Dang Hung Thang, Universidad de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanoi.

4 Sea $ABCD$ un paralelogramo y sea $K$ un punto en la recta $AD$ tal que $BK=AB$. Suponga que $P$ es un punto arbitrario en $AB$, y la mediatriz de $PC$ corta al circuncírculo del triángulo $APD$ en los puntos $X$, $Y$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ABK$ pasa por el ortocentro del triángulo $AXY$. Propuesto por Iman Maghsoudi

2 Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico convexo $ABCD$ se cortan en el punto $E$. Dado que $AB = 39, AE = 45, AD = 60$ y $BC = 56$, determine la longitud de $CD.$

2014.1

1 Sean $AD, BE, CF$ segmentos cuyos puntos medios se encuentran sobre la misma recta $\ell$. Los puntos $X, Y, Z$ yacen sobre las rectas $EF, FD, DE$ respectivamente, tales que $AX \parallel BY \parallel CZ \parallel \ell$. Demuestre que $X, Y, Z$ son colineales. Tran Quang Hung, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói

1 Un rectángulo dado $ R$ se divide en $mn$ rectángulos pequeños mediante líneas rectas paralelas a sus lados. (Las distancias entre las líneas paralelas pueden no ser iguales). ¿Cuál es el número mínimo de áreas de rectángulos seleccionados apropiadamente que deben conocerse para determinar el área de $ R$ ?