1 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Determine todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, $$f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).$$ Propuesto por Liam Baker, Sudáfrica

4 Llame a un subconjunto de dos elementos de $\mathbb{N}$ "lindo" si contiene exactamente un número primo y un número compuesto. Determine todos los polinomios $f \in \mathbb{Z}[x]$ tales que para todo subconjunto lindo $\{ p,q \}$, el subconjunto $\{ f(p) + q, f(q) + p \}$ sea también lindo. Propuesto por Valentio Iverson (Indonesia)

1 En un juego, un jugador puede subir hasta 16 niveles. En cada nivel, el jugador puede mejorar una habilidad gastando ese nivel en ella. Existen tres tipos de habilidades; sin embargo, una habilidad no puede ser mejorada antes del nivel 6 por primera vez. Y esa habilidad especial no puede ser mejorada antes del nivel 11. Las otras habilidades pueden ser mejoradas en cualquier nivel, cualquier cantidad de veces (posiblemente 0), pero la habilidad especial necesita ser mejorada exactamente dos veces. ¿De cuántas maneras pueden ser mejoradas estas habilidades?

2 Sea $O$ el circuncentro de un triángulo $ABC$. Sea $M$ el punto medio de $AO$. Las rectas $BO$ y $CO$ intersecan a la altura $AD$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ABE$ y $ACF$, respectivamente. Demuestre que $M$ se encuentra sobre $O_1O_2$.

3 Sea $t \ge 3$ un número real dado y suponga que el polinomio $f(x)$ satisface $|f(k)-t^k|<1$, para $k=0,1,2,\ldots ,n$. Demuestre que el grado de $f(x)$ es al menos $n$.

4 Sea ${A}_{n}$ el número de permutaciones $a_{1}, a_{2},..,a_{n}$ de $1,2,3..n$ tales que $\mid{a}_{k}-{k}\mid=0$ o $1$ o $2$. Cuando $n\ge6$, demuestre que ${A}_{n}={2A}_{n-1}+2{A}_{n-3}-{A}_{n-5}$.

3 Sean $P$ y $Q$ los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero convexo $ABCD$; sean $N$ y $M$ los puntos de intersección de la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $CD$, respectivamente. Demuestre que los círculos que contienen a los triángulos $NAP$, $NBQ$, $MQD$ y $MPC$ se intersecan en un mismo punto.

1 ¿Existe una función $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $f(x+f(y))=f(x)+\sin y$, para todos los números reales $x,y$?

5 En un tablero de $8$ casillas —como el que se muestra en la figura— hay inicialmente una ficha en cada casilla. $ \begin{tabular}{ | l | c | c |c | c| c | c | c | r| } \hline & & & & & & & \\ \hline \end{tabular} $ Un movimiento consiste en elegir dos fichas y mover una de ellas una casilla a la derecha y la otra una casilla a la izquierda. Si después de $4$ movimientos las $8$ fichas están distribuidas en solo $2$ casillas, determine cuáles pueden ser esas casillas y cuántas fichas hay en cada una.

1 Para $ a_i \in \mathbb{Z}^ +$ , $ i = 1, \ldots, k$ , y $ n = \sum^k_{i = 1} a_i$ , sea $ d = \gcd(a_1, \ldots, a_k)$ el máximo común divisor de $ a_1, \ldots, a_k$ . Demuestre que $ \frac {d} {n} \cdot \frac {n!}{\prod\limits^k_{i = 1} (a_i!)}$ es un entero. Dan Schwarz, Rumania