5 Sean $n\ge 3$ y $d$ enteros positivos. Para un entero $x$, denotamos $r(x)$ como el resto de $x$ al dividirlo por $n$, tal que $0\le r(x)\le n-1$. Sea $c$ un entero positivo con $1<c<n$ y $\gcd(c,n)=1$, y suponga que $a_1, \cdots, a_d$ son enteros positivos con $a_1+\cdots+a_d\le n-1$. (a) Demuestre que si $n<2d$, entonces $\displaystyle\sum_{i=1}^d r(ca_i)\ge n$. (b) Para cada $n$, encuentre el $d$ más pequeño tal que $\displaystyle\sum_{i=1}^d r(ca_i)\ge n$ siempre se cumpla. Propuesto por Yeoh Zi Song y Anzo Teh Zhao Yang

6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AC = BD$ y los lados $AB$ y $CD$ no son paralelos. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran, respectivamente, en los segmentos $BP$ y $AP$ tales que $PC=PE$ y $PD=PF$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo determinado por las rectas $AB, CD, EF$ es tangente al circuncírculo del triángulo $ABP$.

$3n$ personas se reunieron en una fiesta, con $n \ge 2$. Cada persona le desagrada exactamente a otra persona presente en la fiesta (pero no necesariamente de forma recíproca, es decir, puede ocurrir que a $A$ le desagrade $B$ aunque a $B$ no le desagrade $A$) y le agradan todas las demás. Demuestre que los invitados pueden sentarse en tres mesas de tal manera que a cada invitado le agraden todas las personas en su mesa.

2 Ivan está jugando con Lego usando $4n^2$ bloques de $1 \times 2$. Primero, coloca $2n^2$ bloques de $1 \times 2$ para formar un cuadrado de $2n \times 2n$ como capa inferior. Luego, construye la capa superior sobre la capa inferior utilizando los $2n^2$ bloques de $1 \times 2$ restantes. Tenga en cuenta que los bloques de la capa inferior están conectados a los bloques de arriba en la capa superior, tal como los bloques de Lego reales. Él desea que toda la construcción de dos capas esté conectada y no en piezas separadas. Demuestre que si puede hacerlo, entonces los cuatro bloques de $1 \times 2$ que conectan las cuatro esquinas de la capa inferior deben estar todos colocados horizontalmente o todos verticalmente. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

4 Sea $n$ un entero positivo. Se nos da una tabla de $2n \times 2n$. Cada celda está coloreada con uno de $2n^2$ colores de tal manera que cada color se utiliza exactamente dos veces. Jana se encuentra en una de las celdas. Hay una barra de chocolate en una de las otras celdas. Jana desea llegar a la celda con la barra de chocolate. En cada paso, ella solo puede moverse de una de las siguientes dos maneras: o camina a una celda adyacente o se teletransporta a la otra celda con el mismo color que su celda actual. (Jana puede moverse a una celda adyacente del mismo color ya sea caminando o teletransportándose). Determine si Jana puede cumplir su deseo, independientemente de la configuración inicial, si tiene que alternar entre las dos formas de moverse y debe comenzar con una teletransportación.

5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que este se encuentra dentro de $ABCD$ y $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Sea $E$ la intersección de $AC$ con $BD$. Se trazan las rectas $r$ y $s$ que pasan por $E$ tales que $r$ es perpendicular a $BC$ y $s$ es perpendicular a $AD$. Sea $P$ la intersección de $r$ con $AD$, y $M$ la intersección de $s$ con $BC$. Sea $N$ el punto medio de $EO$. Demuestre que $M$, $N$ y $P$ están alineados.

4 En el triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ cortan a la recta $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $p$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$, y sea $q$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$. Demuestre que las rectas $p$ y $q$ se cortan en la recta $BC$.

3 Sea el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ que tiene ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. La bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ corta a $CH$ en $X$, y la bisectriz externa del ángulo $\angle BAC$ corta a $BH$ en $Y$. Los círculos $(BHX)$ y $(CHY)$ se cortan de nuevo en $Z$. Demuestre que $\angle HZM=90^{\circ}$. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

4 Sea $k$ un entero fijo. En la ciudad de Ivanland, hay al menos $k+1$ ciudadanos situados en un plano tales que las distancias entre cualesquiera dos ciudadanos son distintas. Se va a celebrar una elección de modo que cada ciudadano vota al $k$-ésimo ciudadano más cercano para ser el presidente. ¿Cuál es el número máximo de votos que puede tener un ciudadano? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

5 Mazo realiza la siguiente operación en tripletes de enteros no negativos: Si al menos uno de ellos es positivo, elige un número positivo, lo disminuye en uno y reemplaza los dígitos en la posición de las unidades con los otros dos números. Comienza con el triplete $x$, $y$, $z$. Encuentre un triplete de enteros positivos $x$, $y$, $z$ tal que $xy + yz + zx = 1000$ (*) y el número de operaciones que Mazo puede realizar posteriormente con el triplete $x, y, z$ sea (a) maximal (es decir, no existe un triplete de enteros positivos que satisfaga (*) que le permita realizar más operaciones); (b) minimal (es decir, todo triplete de enteros positivos que satisfaga (*) le permite realizar al menos esa cantidad de operaciones).