4 En el triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Las bisectrices de los ángulos interiores $\angle ABC$ y $\angle BCA$ cortan a la recta $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $p$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $AMP$ que pasa por el punto $P$, y sea $q$ la tangente al círculo circunscrito del triángulo $ANQ$ que pasa por el punto $Q$. Demuestre que las rectas $p$ y $q$ se cortan en la recta $BC$.

Sean $a_1, . . . , a_n$ números positivos y $b_1, . . . , b_n, c, d$ números reales que satisfacen $$[a_1x + b_1] + . . . + [a_nx + b_n] = [cx + d]$$ para todo número real $x$. Demuestre que $a_1, . . . , a_n$ no pueden ser todos distintos.

5 Mazo realiza la siguiente operación en tripletes de enteros no negativos: Si al menos uno de ellos es positivo, elige un número positivo, lo disminuye en uno y reemplaza los dígitos en la posición de las unidades con los otros dos números. Comienza con el triplete $x$, $y$, $z$. Encuentre un triplete de enteros positivos $x$, $y$, $z$ tal que $xy + yz + zx = 1000$ (*) y el número de operaciones que Mazo puede realizar posteriormente con el triplete $x, y, z$ sea (a) maximal (es decir, no existe un triplete de enteros positivos que satisfaga (*) que le permita realizar más operaciones); (b) minimal (es decir, todo triplete de enteros positivos que satisfaga (*) le permite realizar al menos esa cantidad de operaciones).

1 A cada punto $P$ en el espacio se le asigna un número real $f(P)$ de tal manera que $$f(A) + f(B) = f(C) + f(D)$$ para todo tetraedro regular $ABCD$ con longitud de lado $1$. Demuestre que la función $f$ es constante.

4 El plano está dividido en cuadrados por dos conjuntos de líneas paralelas, formando una cuadrícula infinita. Cada cuadrado unitario está coloreado con uno de $1201$ colores de tal manera que ningún rectángulo con perímetro $100$ contiene dos cuadrados del mismo color. Demuestre que ningún rectángulo de tamaño $1\times1201$ o $1201\times1$ contiene dos cuadrados del mismo color. Nota: Se asume aquí que cualquier rectángulo tiene sus lados contenidos en las líneas de la cuadrícula. (Bulgaria - Nikolay Beluhov)

6 Dado un rectángulo $ABCD$. Los puntos $E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, de tal manera que el área de los triángulos $ABE$, $ECF$ y $FDA$ es igual a $1$. Determine el área del triángulo $AEF$.

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que $\frac{8}{(a+b)^2 + 4abc} + \frac{8}{(b+c)^2 + 4abc} + \frac{8}{(a+c)^2 + 4abc} + a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{8}{a+3} + \frac{8}{b+3} + \frac{8}{c+3}$.

3 Encuentre todos los polinomios mónicos $f$ con coeficientes enteros que satisfacen la siguiente condición: existe un entero positivo $N$ tal que $p$ divide a $2(f(p)!)+1$ para todo número primo $p>N$ para el cual $f(p)$ es un entero positivo. Nota: Un polinomio mónico tiene un coeficiente principal igual a 1. (Grecia - Panagiotis Lolas y Silouanos Brazitikos)

2 En un círculo $C$ con centro $O$ y radio $r$, sean $C_1$, $C_2$ dos círculos con centros $O_1$, $O_2$ y radios $r_1$, $r_2$ respectivamente, tales que cada círculo $C_i$ es tangente internamente a $C$ en $A_i$ y tales que $C_1$, $C_2$ son tangentes externamente entre sí en $A$. Demuestre que las tres rectas $OA$, $O_1 A_2$ y $O_2 A_1$ son concurrentes.

3 Sea $n$ un entero tal que $n > 3$. Suponga que elegimos tres números del conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$. Usando cada uno de estos tres números solo una vez y utilizando suma, multiplicación y paréntesis, formemos todas las combinaciones posibles. (a) Demuestre que si elegimos los tres números mayores que $\frac{n}{2}$, entonces los valores de estas combinaciones son todos distintos. (b) Sea $p$ un número primo tal que $p \leq \sqrt{n}$. Demuestre que el número de formas de elegir tres números de manera que el menor sea $p$ y los valores de las combinaciones no sean todos distintos es precisamente el número de divisores positivos de $p - 1$.