2 Las tres aristas de una pirámide triangular tienen longitudes $a, b$ y $c$ y son perpendiculares entre sí por pares. Determine la altura de la pirámide. Además, demuestre que si la altura de la pirámide es constante, su volumen es mínimo si $a = b = c$.

3 ¿De cuántas maneras directas podemos conectar cada dos de las ciudades A, B y C, si: hay el doble de caminos de A a B (incluyendo los caminos que pasan por C) que de A a C (incluyendo los caminos que pasan por B); por otro lado, hay el doble de caminos directos de B a C que de A a B?

5 Dados los números $a_1, a_2,..., a_n$ que pertenecen a $\{+1,-1\}$, demuestre la siguiente fórmula: $$2 \sin \left[\left( a_1 + \frac{a_1a_2}{2}+ \frac{a_1a_2a_3}{4}+ ... + \frac{a_1a_2... a_n}{2^{n-1}}\right) \frac{\pi}{4}\right]= a_1\sqrt{2 + a_2\sqrt{2 + a_3\sqrt{2 +... + a_n\sqrt2}}}$$

6 Sean $A, B$ y $C$ los vértices de un triángulo y sea $S$ su baricentro. Demuestre que: $$AB^2 + BC^2 + CA^2 = 3 (SA^2 + SB^2 + SC^2)$$

1 Demuestre que el conjunto solución de la desigualdad \[ \sum^{70}_{k = 1} \frac {k}{x - k} \geq \frac {5}{4} \] es una unión de intervalos disjuntos, cuya suma de longitudes es 1988.

2 En un triángulo rectángulo $ ABC$, sea $ AD$ la altura trazada hacia la hipotenusa y sea la línea recta que une los incentros de los triángulos $ ABD, ACD$ la que interseca a los lados $ AB, AC$ en los puntos $ K, L$ respectivamente. Si $ E$ y $ E_1$ denotan las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ AKL$ respectivamente, demuestre que \[ \frac {E}{E_1} \geq 2. \]

3 Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos tales que $a \cdot b + 1$ divide a $a^{2} + b^{2}$. Demuestre que $\frac {a^{2} + b^{2}}{a \cdot b + 1}$ es un cuadrado perfecto.

1 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones: $\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$. $\bullet$ $A \cup B \cup C = \{ 1, 2, \dots, n \}$. $\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al ser divididas por $3$. Nota: Uno o más de los conjuntos pueden ser vacíos.

2 El Chapulín observó que el número $2014$ tiene una propiedad inusual. Al colocar sus ocho divisores positivos en orden creciente, el quinto divisor es igual a tres veces el tercero menos $4$. Un número de ocho divisores con esta propiedad inusual se llama número rojo. ¿Cuántos números rojos menores que $2014$ existen?

3 Kiko y Ñoño juegan con una varilla de longitud $2n$, donde $n \le 3$ es un entero. Kiko corta la varilla en $k \le 2n$ piezas de longitudes enteras. Luego, Ñoño debe organizar estas piezas de modo que formen un hexágono de lados opuestos iguales y ángulos iguales. Las piezas no se pueden dividir y todas deben ser utilizadas. Si Ñoño logra su objetivo, él gana; en cualquier otro caso, Kiko gana. Determine qué victoria puede asegurarse en función de $k$.