1 Las $4$ palabras clave $$\square * \otimes \,\,\,\, \oplus \rhd \bullet \,\,\,\, * \square \bullet \,\,\,\, \otimes \oslash \oplus$$ están en algún orden $$AMO \,\,\,\, SUR \,\,\,\, REO \,\,\,\, MAS$$ Decifre $$\otimes \oslash \square * \oplus \rhd \square \bullet \otimes $$

6 Sea $n \in \mathbb{N}$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}( 1 + 2 + ... + n )$ y $1 + 2 + ... + (a_1 + a_2) \le \frac{2}{3}( 1 + 2 + ... + n )$. Demuestre que existe una partición de $\{ 1, 2, ... , n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $| A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.

5 En el segmento $A C$ se toma un punto $B$. Construya los círculos $T_1, T_2$ y $T_3$ de diámetros $A B, BC$ y $AC$ respectivamente. Una recta que pasa por $B$ corta a $T_3$ en los puntos $P$ y $Q$, y a los círculos $T_1$ y $T_2$ en los puntos $R$ y $S$ respectivamente. Demuestre que $PR = Q S$.

1. En un círculo, $ AB$ y $ AC$ son dos cuerdas de igual longitud. ¿Cuántas cuerdas existen tales que $ AB$ y $ AC$ dividan a dichas cuerdas en tres partes de igual longitud?

2 Sean $a, b, c \in \mathbb{R}$ tales que $$a + b + c = a^2 + b^2 + c^2 = 1, \hspace{8px} a^3 + b^3 + c^3 \neq 1.$$ Decimos que una función $f$ es una función de Palić si $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f$ es continua y satisface $$f(x) + f(y) + f(z) = f(ax + by + cz) + f(bx + cy + az) + f(cx + ay + bz)$$ para todo $x, y, z \in \mathbb{R}.$ Demuestre que cualquier función de Palić es infinitamente diferenciable y encuentre todas las funciones de Palić.

4 Un par $(a,b)$ de enteros positivos es Rioplatense si se cumple que $b + k$ es un múltiplo de $a + k$ para todo $k \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \}$. Demuestre que existe un conjunto infinito $A$ de enteros positivos tal que para cualesquiera dos elementos $a$ y $b$ de $A$, con $a < b$, el par $(a,b)$ es Rioplatense.

10 Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$. Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$. Valentin

2 Las tres aristas de una pirámide triangular tienen longitudes $a, b$ y $c$ y son perpendiculares entre sí por pares. Determine la altura de la pirámide. Además, demuestre que si la altura de la pirámide es constante, su volumen es mínimo si $a = b = c$.

3 Kiko y Ñoño juegan con una varilla de longitud $2n$, donde $n \le 3$ es un entero. Kiko corta la varilla en $k \le 2n$ piezas de longitudes enteras. Luego, Ñoño debe organizar estas piezas de modo que formen un hexágono de lados opuestos iguales y ángulos iguales. Las piezas no se pueden dividir y todas deben ser utilizadas. Si Ñoño logra su objetivo, él gana; en cualquier otro caso, Kiko gana. Determine qué victoria puede asegurarse en función de $k$.

1 Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $AB^2A = AB$. Demuestre que: a) $(AB)^2 = AB$. b) $(AB - BA)^3 = O_n$.