1 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Un punto $P$ en el interior del triángulo satisface \[\angle PBA+\angle PCA = \angle PBC+\angle PCB.\] Demuestre que $AP \geq AI$, y que la igualdad se cumple si y solo si $P=I$.

2 Sea $ABCD$ un trapecio con lados paralelos $AB > CD$. Los puntos $K$ y $L$ se encuentran en los segmentos de recta $AB$ y $CD$, respectivamente, de tal manera que $AK/KB=DL/LC$. Suponga que existen puntos $P$ y $Q$ en el segmento de recta $KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{y}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $B$ y $C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

8 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Un círculo que pasa por los puntos $A$ y $D$ y un círculo que pasa por los puntos $B$ y $C$ son tangentes externamente en un punto $P$ dentro del cuadrilátero. Suponga que \[\angle{PAB}+\angle{PDC}\leq 90^\circ\qquad\text{y}\qquad\angle{PBA}+\angle{PCD}\leq 90^\circ.\] Demuestre que $AB+CD \geq BC+AD$. Propuesto por Waldemar Pompe, Polonia

10 Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$. Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$. Valentin

1 Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $AB^2A = AB$. Demuestre que: a) $(AB)^2 = AB$. b) $(AB - BA)^3 = O_n$.

Se eligen 9 puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ sobre los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ intersecan al circuncírculo del triángulo $ ABC$ nuevamente en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ). Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son semejantes.

2 Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo acutángulo con $BC > AC$. Sea $S$ el baricentro del triángulo $ABC$ y sea $F$ el pie de la perpendicular desde $C$ al lado $AB$. La mediana $CS$ corta a la circunferencia circunscrita $\gamma$ del triángulo $\triangle{ABC}$ en un segundo punto $P$. Sea $M$ el punto donde $CS$ corta a $AB$. La recta $SF$ corta a la circunferencia $\gamma$ en un punto $Q$, tal que $F$ se encuentra entre $S$ y $Q$. Demuestre que los puntos $M, P, Q$ y $F$ yacen sobre una circunferencia. (Karl Czakler)

3 Considere el siguiente juego para un entero positivo $n$. Inicialmente, los números $1, 2, \ldots, n$ están escritos en una pizarra. En cada movimiento, se seleccionan dos números tales que su diferencia también está presente en la pizarra. Luego, esta diferencia se borra de la pizarra. (Por ejemplo, si los números $3, 6, 11$ y $17$ están en la pizarra, entonces $3$ puede ser borrado ya que $6 - 3 = 3$, o $6$ ya que $17 - 11 = 6$, o $11$ ya que $17 - 6 = 11$). ¿Para qué valores de $n$ es posible terminar con solo un número restante en la pizarra? (Michael Reitmeir)

1 Encuentre todos los números naturales $m$ tales que \[1! \cdot 3! \cdot 5! \cdots (2m-1)! = \biggl( \frac{m(m+1)}{2}\biggr) !.\] Amir

4 Determine todos los enteros $n$ que pueden escribirse de la forma \[ n = \frac{a^2 - b^2}{b}, \] donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (Walther Janous)