1 Sean $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $AB^2A = AB$. Demuestre que: a) $(AB)^2 = AB$. b) $(AB - BA)^3 = O_n$.

2 Sea $\triangle{ABC}$ un triángulo acutángulo con $BC > AC$. Sea $S$ el baricentro del triángulo $ABC$ y sea $F$ el pie de la perpendicular desde $C$ al lado $AB$. La mediana $CS$ corta a la circunferencia circunscrita $\gamma$ del triángulo $\triangle{ABC}$ en un segundo punto $P$. Sea $M$ el punto donde $CS$ corta a $AB$. La recta $SF$ corta a la circunferencia $\gamma$ en un punto $Q$, tal que $F$ se encuentra entre $S$ y $Q$. Demuestre que los puntos $M, P, Q$ y $F$ yacen sobre una circunferencia. (Karl Czakler)

3 Considere el siguiente juego para un entero positivo $n$. Inicialmente, los números $1, 2, \ldots, n$ están escritos en una pizarra. En cada movimiento, se seleccionan dos números tales que su diferencia también está presente en la pizarra. Luego, esta diferencia se borra de la pizarra. (Por ejemplo, si los números $3, 6, 11$ y $17$ están en la pizarra, entonces $3$ puede ser borrado ya que $6 - 3 = 3$, o $6$ ya que $17 - 11 = 6$, o $11$ ya que $17 - 6 = 11$). ¿Para qué valores de $n$ es posible terminar con solo un número restante en la pizarra? (Michael Reitmeir)

5 Dados los números $a_1, a_2,..., a_n$ que pertenecen a $\{+1,-1\}$, demuestre la siguiente fórmula: $$2 \sin \left[\left( a_1 + \frac{a_1a_2}{2}+ \frac{a_1a_2a_3}{4}+ ... + \frac{a_1a_2... a_n}{2^{n-1}}\right) \frac{\pi}{4}\right]= a_1\sqrt{2 + a_2\sqrt{2 + a_3\sqrt{2 +... + a_n\sqrt2}}}$$

4 Determine todos los enteros $n$ que pueden escribirse de la forma \[ n = \frac{a^2 - b^2}{b}, \] donde $a$ y $b$ son enteros positivos. (Walther Janous)

4 A partir de la sucesión $u_1, u_2,..., u_{2^n}$ , donde $n$ es un número natural, con $u_i \in\{+1,-1\}$ para $i = 1, 2,..., 2^n$ se forma la sucesión $u_1u_2$ , $u_2u_3$ , $...$ , $ u_{2^n-1}u_{2^n}$ , $u_{2^n}u_1$ , cuyos miembros son nuevamente $+1$ o $-1$. A partir de esta sucesión, siguiendo la misma regla, se construye una nueva sucesión de la misma manera y así sucesivamente. Demuestre que obtenemos una sucesión que consiste solo en $+1$ después de, a lo sumo, $2^n$ pasos.

3 ¿De cuántas maneras directas podemos conectar cada dos de las ciudades A, B y C, si: hay el doble de caminos de A a B (incluyendo los caminos que pasan por C) que de A a C (incluyendo los caminos que pasan por B); por otro lado, hay el doble de caminos directos de B a C que de A a B?

2 Sea $ABCD$ un trapecio con lados paralelos $AB > CD$. Los puntos $K$ y $L$ se encuentran en los segmentos de recta $AB$ y $CD$, respectivamente, de tal manera que $AK/KB=DL/LC$. Suponga que existen puntos $P$ y $Q$ en el segmento de recta $KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{y}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $B$ y $C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

8 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Un círculo que pasa por los puntos $A$ y $D$ y un círculo que pasa por los puntos $B$ y $C$ son tangentes externamente en un punto $P$ dentro del cuadrilátero. Suponga que \[\angle{PAB}+\angle{PDC}\leq 90^\circ\qquad\text{y}\qquad\angle{PBA}+\angle{PCD}\leq 90^\circ.\] Demuestre que $AB+CD \geq BC+AD$. Propuesto por Waldemar Pompe, Polonia

6 Demuestre que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir