52 Sea $\lambda > 1$ un número real dado y $(n_k)$ una sucesión de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k}> \lambda$ para $k = 1, 2,\ldots$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse de más de $c$ formas en la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

62 Sea $T$ un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

17 Encuentre los valores reales de $p$ para los cuales la ecuación \[\sqrt{2p+ 1 - x^2} +\sqrt{3x + p + 4} = \sqrt{x^2 + 9x+ 3p + 9}\] en $x$ tiene exactamente dos raíces reales distintas. ($\sqrt t$ significa la raíz cuadrada positiva de $t$). Amir

63 Sea $\{a_i\}$ una sucesión de $n$ números reales positivos que denotan las longitudes de los lados de un $n$-ágono arbitrario. Sea $s=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$. Demuestre que $2\ge \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{s-a_i}}\ge \frac{n}{n-1}$.

48 En el plano se da un círculo $C$ de radio unitario. Para cualquier recta $l$, se define un número $s(l)$ de la siguiente manera: Si $l$ y $C$ se intersecan en dos puntos, $s(l)$ es su distancia; de lo contrario, $s(l) = 0$. Sea $P$ un punto a una distancia $r$ del centro de $C$. Se define $M(r)$ como el valor máximo de la suma $s(m) + s(n)$, donde $m$ y $n$ son rectas variables mutuamente ortogonales que pasan por $P$. Determine los valores de $r$ para los cuales $M(r) > 2$.

39 Una expedición en el desierto acampa en el borde del mismo y debe proveer un litro de agua potable a otro miembro de la expedición, que reside a una distancia de $n$ días de caminata del campamento, bajo las siguientes condiciones: $(i)$ Cada miembro de la expedición puede cargar como máximo $3$ litros de agua. $(ii)$ Cada miembro debe beber un litro de agua por cada día que pase en el desierto. $(iii)$ Todos los miembros deben regresar al campamento. ¿Cuánta agua necesitan (como mínimo) para lograrlo?

16 Sea $Q$ un cuadrado con longitud de lado $6$. Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que en $Q$ existe un conjunto $S$ de $n$ puntos con la propiedad de que cualquier cuadrado de lado $1$ completamente contenido en $Q$ contiene en su interior al menos un punto de $S$. Amir

7 Considere un poliedro convexo sin aristas paralelas y sin ninguna arista paralela a ninguna cara, excepto a las dos caras adyacentes a ella. Llame a un par de puntos del poliedro antipodales si existen dos planos paralelos que pasan por estos puntos y tales que el poliedro está contenido entre estos planos. Sea $A$ el número de pares antipodales de vértices, y sea $B$ el número de pares antipodales de puntos medios de aristas. Determine la diferencia $A-B$ en términos de los números de vértices, aristas y caras. Propuesto por Kei Irei, Japón

8 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Un círculo que pasa por los puntos $A$ y $D$ y un círculo que pasa por los puntos $B$ y $C$ son tangentes externamente en un punto $P$ dentro del cuadrilátero. Suponga que \[\angle{PAB}+\angle{PDC}\leq 90^\circ\qquad\text{y}\qquad\angle{PBA}+\angle{PCD}\leq 90^\circ.\] Demuestre que $AB+CD \geq BC+AD$. Propuesto por Waldemar Pompe, Polonia

Se eligen 9 puntos $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ sobre los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de un triángulo $ ABC$ respectivamente. Los circuncírculos de los triángulos $ AB_{1}C_{1}$ , $ BC_{1}A_{1}$ , $ CA_{1}B_{1}$ intersecan al circuncírculo del triángulo $ ABC$ nuevamente en los puntos $ A_{2}$ , $ B_{2}$ , $ C_{2}$ respectivamente ( $ A_{2}\neq A, B_{2}\neq B, C_{2}\neq C$ ). Los puntos $ A_{3}$ , $ B_{3}$ , $ C_{3}$ son simétricos a $ A_{1}$ , $ B_{1}$ , $ C_{1}$ con respecto a los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ respectivamente. Demuestre que los triángulos $ A_{2}B_{2}C_{2}$ y $ A_{3}B_{3}C_{3}$ son semejantes.