10 Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales existe un entero $m$ tal que ${2^{n}-1}$ es un divisor de ${m^{2}+9}$.

10 Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $DE \parallel BC$. Sea $P$ cualquier punto interior al triángulo $ADE$, y sean $F$ y $G$ las intersecciones de $DE$ con las rectas $BP$ y $CP$, respectivamente. Sea $Q$ el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $PDG$ y $PFE$. Demuestre que los puntos $A, P$ y $Q$ son colineales.

11 Encuentre todos los primos $ p,q $ tales que $ \alpha^{3pq} -\alpha \equiv 0 \pmod {3pq} $ para todo entero $ \alpha $ . Valentin

9 Para cada conjunto no vacío $M$ de enteros, denotamos $S(M)$ como la suma de todos sus elementos. Sea $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{11}\}$ un conjunto de enteros positivos con las siguientes propiedades: 1) $a_1<a_2<\ldots<a_{11};$ 2) para cada entero positivo $n\leq 1500$ existe un subconjunto $M$ de $A$ tal que $S(M)=n.$ Encuentre el menor valor posible de $a_{10}.$

12 Sea $ n\geq 3 $ un entero y sea $ p\geq 2n-3 $ un número primo. Para un conjunto $ M $ de $ n $ puntos en el plano, sin 3 puntos colineales, sea $ f: M\to \{0,1,\ldots, p-1\} $ una función tal que (i) exactamente un punto de $ M $ se mapea a 0, (ii) si un círculo $ \mathcal{C} $ pasa a través de 3 puntos distintos $ A,B,C\in M $, entonces $ \sum_{P\in M\cap \mathcal{C}} f(P) \equiv 0 \pmod p $. Demuestre que todos los puntos en $ M $ yacen sobre un círculo. Valentin

9 Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ los vértices de un polígono regular de $n$ lados. Si $\frac{1}{A_1 A_2} = \frac{1}{A_1 A_3} + \frac{1}{A_1A_4}$, encuentre $n$.

11 En el plano cartesiano se da un polígono $P$ cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Demuestre que si la longitud de cada lado de $P$ es un entero impar, entonces la superficie de $P$ no puede ser particionada en rectángulos de $2\times 1$.

13 Sea $n\geq 3$ y $A_1,A_2,\ldots,A_n$ puntos en un círculo. Encuentre el mayor número de triángulos acutángulos que pueden considerarse con vértices en estos puntos. G. Eckstein Valentin

10 Para cualquier entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$. Determine el conjunto de enteros positivos para los cuales $s(n) = 5$.

12 Sea $n$ $(n\geq 1)$ un entero y un conjunto $A=\{1,2,\ldots,n\}$. El conjunto $A$ es $k-particionable$ si puede ser particionado en $k$ conjuntos disjuntos con la misma suma de elementos. Demuestre que $A$ es $k-particionable$ si y solo si $2k$ divide a $n(n+1)$ y $2k\leq n+1$.