54 Tomamos $100$ números naturales consecutivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{100}.$ Determine las dos últimas cifras del número $a_{1}^{8}+a_{2}^{8}+...+a_{100}^{8}.$

55 Dados el vértice $A$ y el baricentro $M$ de un triángulo $ABC$, encuentre el lugar geométrico de los vértices $B$ tales que todos los ángulos del triángulo se encuentren en el intervalo $[40^\circ, 70^\circ].$ Amir

60 Demuestre que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular al centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices a cualquier otro punto en el espacio.

9 Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ los vértices de un polígono regular de $n$ lados. Si $\frac{1}{A_1 A_2} = \frac{1}{A_1 A_3} + \frac{1}{A_1A_4}$, encuentre $n$.

8 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos para los cuales $2^{m} + 3^{n}$ es un cuadrado perfecto.

53 Demuestre que en todo hexágono convexo de área $S$ se puede trazar una diagonal que corta un triángulo de área no mayor a $\frac{1}{6}S.$ Amir

12 Sea $k \in \mathbb{N}$. Demuestre que \[ \binom{k}{0} \cdot (x+k)^k - \binom{k}{1} \cdot (x+k-1)^k+...+(-1)^k \cdot \binom{k}{k} \cdot x^k=k! ,\forall x \in \mathbb{R}\]

11 Sea $S$ un conjunto finito con $n$ $(n>1)$ elementos, $M$ el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ y una función $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, que verifica la relación $f(A\cap B)=\min\{f(A),f(B)\}, \forall A,B\in M$. Demuestre que $$\sum_{A\in M} (-1)^{n-|A|}\cdot f(A)=f(S)-\max\{f(A)|A\in M, A\neq S\},$$ donde $|A|$ es el número de elementos del subconjunto $A$.

7 Resuelva el siguiente sistema para $x,y,z$ reales: \[ \left\{ \begin{array}{ccc} x+ y -z & =& 4 \\ x^2 - y^2 + z^2 & = & -4 \\ xyz & =& 6. \end{array} \right. \]

12 Dos círculos se cortan en dos puntos $A$ y $B$. Una recta $\ell$ que pasa por el punto $A$ corta a los dos círculos nuevamente en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ (que no contienen al punto $A$) en los respectivos círculos. Sea $K$ el punto medio del segmento $CD$. Demuestre que $\measuredangle MKN = 90^{\circ}$.