10 Sea un hexágono regular con longitud de lado $1$. Encuentre el mayor entero $n\geq2$ para el cual existen $n$ puntos dentro o sobre los lados del hexágono tales que la distancia entre cada par de puntos no es menor que $\sqrt{2}$.

9 Demuestre que para todos los números reales $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ se tiene \[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij \cos {(\alpha_i - \alpha_j )} \geq 0. \] Octavian Stanasila Valentin

7 Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo arbitrario. Para cualquier punto $ P$ situado dentro del triángulo, sean $ D$ , $ E$ , $ F$ los pies de las perpendiculares desde $ P$ hacia los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CA$ respectivamente. Determine el conjunto de todas las posiciones posibles del punto $ P$ para las cuales el triángulo $ DEF$ es isósceles. ¿Para qué posición de $ P$ el triángulo $ DEF$ se vuelve equilátero?

11 Sean $x,y,z$ números reales tales que $x+y+z=0$. Demuestre que \[ |\cos x |+ |\cos y| +| \cos z | \geq 1 . \] Viorel Vajaitu, Bogdan Enescu Valentin

9 Demuestre que para un triángulo con radios de circunferencia circunscrita e inscrita iguales a $R$ y $r$ respectivamente, se cumple la desigualdad $R \geq 2r$.

10 Sean $p,q$ números primos positivos y suponga que $q>5$. Demuestre que si $q \mid 2^{p}+3^{p}$, entonces $q>p$. Laurentiu Panaitopol

9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

11 Sea $P(X,Y)=X^2+2aXY+Y^2$ un polinomio real donde $|a|\geq 1$. Para un entero positivo dado $n$, $n\geq 2$, considere el sistema de ecuaciones: \[ P(x_1,x_2) = P(x_2,x_3) = \ldots = P(x_{n-1},x_n) = P(x_n,x_1) = 0 . \] Decimos que dos soluciones $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ del sistema son equivalentes si existe un número real $\lambda \neq 0$ tal que $x_1=\lambda y_1$, $\ldots$, $x_n= \lambda y_n$. ¿Cuántas soluciones no equivalentes tiene el sistema? Mircea Becheanu Valentin

7 a) Demuestre que para cualquier número natural $ n\ge 1, $ existe un conjunto $ \mathcal{M} $ de $ n $ puntos del plano cartesiano tal que el baricentro de cada subconjunto de $ \mathcal{M} $ tiene coordenadas enteras (ambas coordenadas son números enteros). b) Demuestre que si se da un conjunto $ \mathcal{N} $ formado por un número infinito de puntos del plano cartesiano tal que no hay tres de ellos que sean colineales, entonces existe un subconjunto finito de $ \mathcal{N} $ cuyo baricentro tiene coordenadas no enteras.

11 Encuentre el número de soluciones reales de la ecuación $(x^{2006}+1)(1+x^2+x^4+\ldots +x^{2004})=2006x^{2005}$