1 El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto en la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ se encuentra entre $A$ y $C$. El punto $D$ se elige de tal manera que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. El punto $E$ se elige de tal manera que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestre que $BD, FX$ y $ME$ son concurrentes.

6 En cada casilla de un tablero de $100 \times 100$ hay escrito un número entero. La operación permitida consiste en elegir cuatro casillas que formen la figura o cualquiera de sus reflexiones o rotaciones, y sumar $1$ a cada uno de los cuatro números. El objetivo es, mediante las operaciones permitidas, lograr un tablero con el menor número posible de residuos distintos módulo $33$. ¿Cuál es el número mínimo que se puede lograr con certeza?

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo círculo inscrito es tangente a $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente. Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ABC$ con la recta $DE$ y sea $Z$ el punto medio de $BC$. Demuestre que el triángulo $XYZ$ es equilátero si y solo si $\angle A = 60^\circ$.

2 Encuentre todos los primos $p$ tales que $p^2-p+1$ sea un cubo perfecto.

4 Sea $n \geq 2$ un entero. Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,\dots,n\}$ tal que $S$ no contiene dos elementos donde uno divide al otro, ni contiene dos elementos que sean coprimos. ¿Cuál es el número máximo posible de elementos de tal conjunto $S$?

4 Dada una función $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ que satisface las condiciones \[f(n)=\left\{\begin{array}{ll} f(n-1)-n, & f(n-1)>n\\ f(n-1)+n, & f(n-1)\leqslant n \end{array}\right.\] y $f(1)=1$, encuentre los elementos máximo y mínimo del conjunto $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1998\}$.

5 En el triángulo $ABC$ suponga que $5\angle BAC = 3\angle ABC$. Sean $BC = a$, $AB = c$ y $AC = b$. Demuestre que $$(b^2 - a^2)^2 b^2 c^2 = a b c^2\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr) +\bigl(a^2 c^2 - (b^2 - a^2)^2\bigr)^2. $$

2 Un rectángulo se divide en $n^2$ rectángulos más pequeños mediante $n - 1$ líneas horizontales y $n - 1$ líneas verticales. Entre esos rectángulos hay exactamente $5660$ que no son congruentes. ¿Para qué valor mínimo de $n$ es esto posible?

4 Encuentre todos los números reales $x$ tales que: a) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2012x \rfloor = 2013$ b) $\lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor +...+ \lfloor 2013x \rfloor = 2014$

1 Sea $ABCD$ un trapecio con $AD$ paralelo a $BC$ y sea $J$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Se elige un punto $P$ en el lado $BC$ tal que la distancia de $C$ a la recta $AP$ es igual a la distancia de $B$ a la recta $DP$. Las siguientes tres preguntas 1, 2 y 3 son independientes, por lo que una condición en una pregunta no se aplica en otra. 1. Suponga que $Area( \vartriangle AJB) =6$ y que $Area(\vartriangle BJC) = 9$. Determine $Area(\vartriangle APD)$. 2. Encuentre todos los puntos $Q$ en el plano del trapecio tales que $Area(\vartriangle AQB) = Area(\vartriangle DQC)$. 3. Demuestre que $PJ$ es la bisectriz del ángulo $\angle APD$.