3 Se dan cuatro puntos en el plano, no todos situados sobre una misma línea recta. ¿Es posible que, para cada elección de tres de estos puntos que forman un triángulo, la mediana, la bisectriz y la altura trazadas desde tres vértices diferentes del triángulo se corten todas en un único punto?

4 Dada una función $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ que satisface las condiciones \[f(n)=\left\{\begin{array}{ll} f(n-1)-n, & f(n-1)>n\\ f(n-1)+n, & f(n-1)\leqslant n \end{array}\right.\] y $f(1)=1$, encuentre los elementos máximo y mínimo del conjunto $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1998\}$.

2019.7 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB = 2 \angle ABC$. Suponga que existe un punto $D$ en el interior del triángulo $ABC$ tal que $AD = BD$ y $CD = AC$. Demuestre que $\angle ACB = 3 \angle DCB$.

2022.8 Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en el interior del lado $BC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $AP B$ y $AP C$, respectivamente. Sea $X$ el punto más cercano a $A$ sobre la recta $AP$ tal que $XI_1$ es perpendicular a $XI_2$. Demuestre que la distancia $AX$ es independiente de la elección de $P$.

2021.8 Sea $\triangle ABC$ un triángulo con $AB = AC$ y $\angle BAC = 20^{\circ}$. Sea $D$ un punto en el lado $AB$ tal que $\angle BCD = 70^{\circ}$. Sea $E$ un punto en el lado $AC$ tal que $\angle CBE = 60^{\circ}$. Determine el valor del ángulo $\angle CDE$.

2020.7 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $AD> BC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de $\angle BAC$ y $BC$. Sea $E$ la intersección de $DB$ con la paralela a la bisectriz de $\angle CBD$ que pasa por $X$, y sea $F$ la intersección de $DC$ con la paralela a la bisectriz de $\angle DCB$ que pasa por $X$. Demuestre que el cuadrilátero $AEFD$ es cíclico.

4 El $n$-factorial de un entero positivo $x$ es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a $x$ que son congruentes a $x$ módulo $n$. Por ejemplo, para el número 16, su 2-factorial es $16 \times 14 \times 12 \times 10 \times 8 \times 6 \times 4 \times 2$, su 3-factorial es $16 \times 13 \times 10 \times 7 \times 4 \times 1$ y su 18-factorial es 16. Un entero positivo se llama olímpico si tiene $n$ dígitos, todos distintos de cero, y si es igual a la suma de los $n$-factoriales de sus dígitos. Encuentre todos los enteros olímpicos positivos.

2011.8 Sea $ABCD$ un paralelogramo y $H$ el ortocentro del $\triangle{ABC}$. La recta paralela a $AB$ que pasa por $H$ corta a $BC$ en $P$ y a $AD$ en $Q$, mientras que la recta paralela a $BC$ que pasa por $H$ corta a $AB$ en $R$ y a $CD$ en $S$. Demuestre que $P$, $Q$, $R$ y $S$ son concíclicos. (Olimpiada Matemática Suiza 2011, Ronda final, problema 8) Martin N.

2007.6 Tres círculos iguales $k_1, k_2, k_3$ se intersecan de manera no tangencial en un punto $P$. Sean $A$ y $B$ los centros de los círculos $k_1$ y $k_2$. Sean $D$ y $C$ las intersecciones de $k_3$ con $k_1$ y $k_2$ respectivamente, distintas de $P$. Demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo.

6 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados opuestos a los vértices $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sea $R$ su circunradio y $r$ su inradio. Suponga que $b + c = 2a$ y $R = 3r$. El excírculo relativo al vértice $A$ interseca al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Sea $U$ el punto medio del lado $BC$, y sea $I$ el incentro de $ABC$. Demuestre que $U$ es el baricentro del triángulo $QIP$.