2 Se da un trapecio $ABCD$ con $BC // AD$. Los puntos $B'$ y $C'$ son simétricos a $B$ y $C$ con respecto a $CD$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que el punto medio del segmento que une los circuncentros de $ABC'$ y $B'CD$ es equidistante de $A$ y $D$.

1 Un entero $n$ se denomina apocalíptico si la suma de $6$ divisores positivos distintos de $n$ da como resultado $3528$. Por ejemplo, $2012$ es apocalíptico, porque tiene seis divisores, $1$, $2$, $4$, $503$, $1006$ y $2012$, que suman $3528$. Encuentre el número apocalíptico positivo más pequeño.

2 Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales cada celda de una tabla de $n \times n$ puede ser llenada con una de las letras $I, M$ y $O$ de tal manera que: en cada fila y cada columna, un tercio de las entradas sean $I$, un tercio sean $M$ y un tercio sean $O$; y en cualquier diagonal, si el número de entradas en la diagonal es un múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas sean $I$, un tercio sean $M$ y un tercio sean $O$. Nota. Las filas y columnas de una tabla de $n \times n$ están etiquetadas del $1$ al $n$ en orden natural. Por lo tanto, cada celda corresponde a un par de enteros positivos $(i,j)$ con $1 \le i,j \le n$. Para $n>1$, la tabla tiene $4n-2$ diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i+j$ es una constante, y la diagonal del segundo tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i-j$ es constante.

3 Sea $P=A_1A_2\cdots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y yacen sobre un círculo. Sea $S$ el área de $P$. Se da un entero positivo impar $n$ tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son enteros divisibles por $n$. Demuestre que $2S$ es un entero divisible por $n$.

1 igual que los juniors

4 Sea $n \geq 2$ un entero. Sea $S$ un subconjunto de $\{1,2,\dots,n\}$ tal que $S$ no contiene dos elementos donde uno divide al otro, ni contiene dos elementos que sean coprimos. ¿Cuál es el número máximo posible de elementos de tal conjunto $S$?

4 Dada una función $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ que satisface las condiciones \[f(n)=\left\{\begin{array}{ll} f(n-1)-n, & f(n-1)>n\\ f(n-1)+n, & f(n-1)\leqslant n \end{array}\right.\] y $f(1)=1$, encuentre los elementos máximo y mínimo del conjunto $S=\{n\in\mathbb N\mid f(n)=1998\}$.

5 La ecuación $$(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2016)$$ está escrita en la pizarra, con $2016$ factores lineales en cada lado. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ para el cual es posible borrar exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales de modo que al menos un factor permanezca en cada lado y la ecuación resultante no tenga soluciones reales?

2 Un rectángulo se divide en $n^2$ rectángulos más pequeños mediante $n - 1$ líneas horizontales y $n - 1$ líneas verticales. Entre esos rectángulos hay exactamente $5660$ que no son congruentes. ¿Para qué valor mínimo de $n$ es esto posible?

4 Un conjunto de enteros positivos se denomina fragante si contiene al menos dos elementos y cada uno de sus elementos tiene un factor primo en común con al menos uno de los otros elementos. Sea $P(n)=n^2+n+1$. ¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $b$ tal que existe un entero no negativo $a$ para el cual el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots,P(a+b)\}$$ es fragante?