Afirmo que la respuesta es $2016.$ Primero, demostramos la cota y luego proporcionamos una construcción y demostramos que funciona. Si se borran menos de $2016$ factores lineales, entonces el factor lineal $(x-k)$ estará en ambos lados de la ecuación para algún $k \in \{1, \ldots, 2016\},$ por lo que $x=k$ será una solución real, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, se deben borrar al menos $2016$ factores lineales. Ahora, borremos $2016$ de los factores lineales de tal manera que nos quede la siguiente ecuación: $$(x-1)(x-4)(x-5)(x-8)\cdots (x-2013)(x-2016) = (x-2)(x-3)(x-6)(x-7) \cdots (x-2014)(x-2015),$$ es decir, dejamos los factores de la forma $(x-i)$ para $i \equiv 0, 1 \pmod{4}$ en el lado izquierdo y para $i \equiv 2, 3 \pmod{4}$ en el lado derecho. Para demostrar que no existe ninguna raíz real para esta ecuación, procedemos por casos. Si $x<1$ o $x>2016,$ entonces tenemos \begin{align*} (x-(4i-3))(x-4i) &= x^2 - (8i-3)x + (16i^2-12i) \\ &< x^2 - (8i-3)x + (16i^2-12i+2) \\ &= (x-(4i-2))(x-(4i-1)), \end{align*} y $(x-(4i-3))(x-4i)$ y $(x-(4i-2))(x-(4i-1))$ son ambos positivos para todo $i \in \{1, \ldots, 504\},$ por lo que podemos multiplicar todas las desigualdades de la forma $$(x-(4i-3))(x-4i)<(x-(4i-2))(x-(4i-1))$$ para deducir que el lado izquierdo de la ecuación construida es siempre estrictamente menor que el lado derecho de la ecuación construida en este caso, lo que implica que no tiene raíces reales. Si $x \in \{1, \ldots, 2016\},$ entonces solo uno de los lados de la ecuación será igual a $0,$ por lo que tampoco hay soluciones reales de este tipo. Si $1 x^2 - (8i+1)x + (16i^2+4i-2) \\ &= (x-(4i-1))(x-(4i+2)), \end{align*} y $(x-4i)(x-(4i+1))$ y $(x-(4i-1))(x-(4i+2))$ son ambos positivos para todo $i \in \{1, \ldots, 503\},$ por lo que podemos multiplicar todas las desigualdades de la forma $$(x-4i)(x-(4i+1))>(x-(4i-1))(x-(4i+2))$$ para deducir que $$(x-4)(x-5)(x-8)(x-9) \cdots (x-2012)(x-2013)>(x-3)(x-6)(x-7)(x-10) \cdots (x-2011)(x-2014).$$ Entonces, tenemos $$x-1>x-2, 2016-x>2015-x,$$ los cuales podemos multiplicar porque $2(x-2)(2015-x) \implies |(x-1)(x-2016)| > |(x-2)(x-2015)|.$$ Por lo tanto, resulta que la magnitud del lado izquierdo de la ecuación construida es mayor que la magnitud del lado derecho de la ecuación construida en este caso. Habiendo agotado todos los casos, podemos concluir que la ecuación construida no tiene soluciones reales, por lo que hemos terminado. $\square$

2016 IMO P5

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