2.º independiente

1 Sea $P$ un punto en el interior del $\triangle ABC$. Las longitudes de los lados del $\triangle ABC$ son $a,b,c$, y las distancias desde $P$ a los lados del $\triangle ABC$ son $p,q,r$. Demuestre que el circunradio $R$ del $\triangle ABC$ satisface \[\displaystyle R\le \frac{a^2+b^2+c^2}{18\sqrt[3]{pqr}}.\] ¿Cuándo se cumple la igualdad?

2 Sea $n\geq 2$ un entero, y sean $0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{2n+1}$ números reales. Demuestre la desigualdad \[ \sqrt[n]{a_1} - \sqrt[n]{a_2} + \sqrt[n]{a_3} - \cdots + \sqrt[n]{a_{2n+1}} < \sqrt[n]{a_1 - a_2 + a_3 - \cdots + a_{2n+1}}. \] Bogdan Enescu, Rumania Valentin

1 Considere la sucesión finita $\left\lfloor \frac{k^2}{1998} \right\rfloor$, para $k=1,2,\ldots, 1997$. ¿Cuántos términos distintos hay en esta sucesión? Grecia Valentin

4 Sea $(a_{n})_{n\geq 1}$ una sucesión definida por $a_{n}=2^{n}+49$. Encuentre todos los valores de $n$ tales que $a_{n}=pq$ y $a_{n+1}=rs$, donde $p,q,r,s$ son números primos con $p<q$, $r<s$ y $q-p=s-r$.

3 Hay siete varillas erigidas en los vértices de un área heptagonal regular. La parte superior de cada varilla está conectada a la parte superior de su segundo vecino mediante un trozo de alambre recto de tal manera que, visto desde arriba, se observa que cada alambre cruza exactamente a otros dos. ¿Es posible establecer las alturas respectivas de las varillas de tal manera que no haya cuatro partes superiores de las varillas que sean coplanares y que cada alambre pase por uno de los cruces por encima y por el otro por debajo? N.T.TUAN

1 En el triángulo $ABC$, $M$ es el punto medio de $AB$ y $B'$ es el pie de la altura desde $B$. El círculo $CB'M$ interseca a la recta $BC$ por segunda vez en $D$. Los circuncírculos de $CB'M$ y $ABD$ se intersecan nuevamente en $K$. La paralela a $AB$ que pasa por $C$ interseca al círculo $CB'M$ nuevamente en $L$. Demuestre que $KL$ biseca a $CM$.

2 Sea $F_{n}$ el $n$-ésimo número de Fibonacci (donde $F_{1}= F_{2}= 1$). Considere las funciones $f_{n}(x)=| . . . ||x|-F_{n}|-F_{n-1}|-...-F_{2}|-F_{1}|$, $g_{n}(x)=| . . . ||x-1|-1|-...-1|$ ($F_{1}+...+F_{n}$ unos). Demuestre que $f_{n}(x) = g_{n}(x)$ para todo número real $x.$ N.T.TUAN

1 Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ y sea $R$ el circunradio del triángulo $ABC$. Demuestre que \[ \frac{PA}{AB\cdot AC}+\frac{PB}{BC\cdot BA}+\frac{PC}{CA\cdot CB}\ge\frac{1}{R}.\]

1 ¿Existe una sucesión de $2005$ enteros positivos consecutivos que contenga exactamente $25$ números primos? N.T.TUAN