Cuatro puntos $A, B, C$ y $D$ yacen sobre un círculo, en ese orden en sentido horario, tales que existe un punto $E$ en el segmento $CD$ con la propiedad de que $AD = DE$ y $BC = EC$. Demuestre que el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$ se encuentra sobre la recta $CD$.

3 Se construye un círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $r$. Se elige un punto $P$ en la circunferencia $\omega$ y se toma un punto $A$ en su interior, tal que $A$ no se encuentra en la recta que pasa por $P$ y $O$. Se construye el punto $B$, el reflejo de $A$ con respecto a $O$, y $P'$ es otro punto en la circunferencia tal que la cuerda $PP'$ es perpendicular a $PA$. Sea $Q$ el punto en la recta $PP'$ que minimiza la suma de las distancias de $A$ a $Q$ y de $Q$ a $B$. Demuestre que el valor de la suma de las longitudes $AQ+QB$ no depende de la elección de los puntos $P$ o $A$.

2 Sea $A$ un conjunto infinito de números reales que contiene al menos un número irracional. Demuestre que para todo número natural $n > 1$ existe un subconjunto $S$ de $A$ con $n$ elementos tal que la suma de los elementos de $S$ es un número irracional.

3 Sea $ X$ un conjunto de 10,000 enteros, ninguno de los cuales es divisible por 47. Demuestre que existe un subconjunto $ Y$ de $ X$ de 2007 elementos tal que $ a - b + c - d + e$ no es divisible por 47 para cualesquiera $ a,b,c,d,e \in Y.$ Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos

5 Encuentre todas las funciones sobreyectivas $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para todo $ m,n \in \mathbb{N}$ y todo número primo $ p,$ el número $ f(m + n)$ es divisible por $ p$ si y solo si $ f(m) + f(n)$ es divisible por $ p$ . Autor: Mohsen Jamaali y Nima Ahmadi Pour Anari, Irán

1 Suponga que los números positivos $x$ e $y$ satisfacen $x^{3}+y^{4}\leq x^{2}+y^{3}$. Demuestre que $x^{3}+y^{3}\leq 2$. N.T.TUAN

2 Sea $\Gamma$ un círculo y sea $d$ una recta tal que $\Gamma$ y $d$ no tienen puntos en común. Además, sea $AB$ un diámetro del círculo $\Gamma$; suponga que este diámetro $AB$ es perpendicular a la recta $d$, y que el punto $B$ está más cerca de la recta $d$ que el punto $A$. Sea $C$ un punto arbitrario en el círculo $\Gamma$, distinto de los puntos $A$ y $B$. Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $d$. Una de las dos tangentes desde el punto $D$ al círculo $\Gamma$ toca a este círculo $\Gamma$ en un punto $E$; por lo tanto, asumimos que los puntos $B$ y $E$ yacen en el mismo semiplano con respecto a la recta $AC$. Denotamos por $F$ al punto de intersección de las rectas $BE$ y $d$. Sea la recta $AF$ que interseca al círculo $\Gamma$ en un punto $G$, distinto de $A$. Demuestre que la reflexión del punto $G$ respecto a la recta $AB$ yace sobre la recta $CF$.

5 igual que los juniors

6 Demuestre que la expresión $$ (1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\dots(n^4+n^2+1)$$ no es un cuadrado para todo $n \in \mathbb{N}$

Sean $N$ celdas elegidas en una cuadrícula rectangular. Sea $a_i$ el número de celdas elegidas en la fila $i$-ésima, y $b_j$ el número de celdas elegidas en la columna $j$-ésima. Demuestre que $$ \prod_{i} a_i! \cdot \prod_{j} b_j! \leq N! $$