3 Sea $\mathcal S$ el conjunto de puntos dentro o en el borde de un triángulo $ABC$, sin un punto fijo $T$ dentro del triángulo. Demuestre que $\mathcal S$ puede ser particionado en segmentos cerrados disjuntos. Yugoslavia Valentin

2 Sea $n\geq 2$ un entero, y sean $0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_{2n+1}$ números reales. Demuestre la desigualdad \[ \sqrt[n]{a_1} - \sqrt[n]{a_2} + \sqrt[n]{a_3} - \cdots + \sqrt[n]{a_{2n+1}} < \sqrt[n]{a_1 - a_2 + a_3 - \cdots + a_{2n+1}}. \] Bogdan Enescu, Rumania Valentin

5 Sea un polígono simple de $n$ lados en el plano, con $n>3$ e impar. El interior ha sido perfectamente recubierto con triángulos de tal manera que cada lado de cualquier triángulo coincide exactamente con otro lado de otro triángulo o del polígono. Alice y Bob juegan el siguiente juego sobre esto: Alice comienza primero y se turnan. En su turno, Alice puede colorear cualquier triángulo no coloreado de rojo, mientras que Bob puede colorear cualquier triángulo no coloreado de azul. Por cada lado que se encuentra entre dos triángulos, este es ganado por Alice si ambos triángulos son rojos, y por Bob si ambos son azules. El ganador es aquel que haya ganado estrictamente más lados que el otro. Demuestre que Alice tiene una estrategia ganadora. Propuesto por Pulkit Sinha

2 Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales el polinomio $p(x) = x^5 -nx -n -2$ puede representarse como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Amir

1 Considere la sucesión finita $\left\lfloor \frac{k^2}{1998} \right\rfloor$, para $k=1,2,\ldots, 1997$. ¿Cuántos términos distintos hay en esta sucesión? Grecia Valentin

2 Sea $F_{n}$ el $n$-ésimo número de Fibonacci (donde $F_{1}= F_{2}= 1$). Considere las funciones $f_{n}(x)=| . . . ||x|-F_{n}|-F_{n-1}|-...-F_{2}|-F_{1}|$, $g_{n}(x)=| . . . ||x-1|-1|-...-1|$ ($F_{1}+...+F_{n}$ unos). Demuestre que $f_{n}(x) = g_{n}(x)$ para todo número real $x.$ N.T.TUAN

3 Hay siete varillas erigidas en los vértices de un área heptagonal regular. La parte superior de cada varilla está conectada a la parte superior de su segundo vecino mediante un trozo de alambre recto de tal manera que, visto desde arriba, se observa que cada alambre cruza exactamente a otros dos. ¿Es posible establecer las alturas respectivas de las varillas de tal manera que no haya cuatro partes superiores de las varillas que sean coplanares y que cada alambre pase por uno de los cruces por encima y por el otro por debajo? N.T.TUAN

1 ¿Existe una sucesión de $2005$ enteros positivos consecutivos que contenga exactamente $25$ números primos? N.T.TUAN

2 Considere todas las sucesiones finitas de números reales positivos cuyos términos son, cada uno, como máximo $3$ y cuya suma es mayor que $100$. Para cada una de estas sucesiones, sea $S$ la suma de la subsecuencia cuya suma es la más cercana a $100$, y defina el defecto de esta sucesión como el valor $|S-100|$. Encuentre el valor máximo posible del defecto.

1 Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ y sea $R$ el circunradio del triángulo $ABC$. Demuestre que \[ \frac{PA}{AB\cdot AC}+\frac{PB}{BC\cdot BA}+\frac{PC}{CA\cdot CB}\ge\frac{1}{R}.\]