286 La carga para la estación espacial "Salute" está empacada en contenedores. Hay más de $35$ contenedores y el peso total es de $18$ toneladas métricas. Hay $7$ naves de transporte de ida "Progress", cada una capaz de llevar $3$ toneladas métricas a la estación. Se sabe que son capaces de llevar un subconjunto arbitrario de $35$ contenedores. Demuestre que son capaces de llevar toda la carga.

306 Sea un número natural que tiene la propiedad $P(k)$ si puede representarse como un producto de $k$ números naturales consecutivos mayores que $1$. a) Encuentre $k$ tal que exista $n$ que tenga las propiedades $P(k)$ y $P(k+2)$ simultáneamente. b) Demuestre que no existe ningún número que tenga las propiedades $P(2)$ y $P(4)$ simultáneamente.

117 Dada una sucesión finita de ceros y unos, que posee dos propiedades: a) si en algún lugar arbitrario de la sucesión seleccionamos cinco dígitos consecutivos y también seleccionamos cinco dígitos en cualquier otro lugar consecutivo, entonces estos grupos de cinco serán diferentes (pueden solaparse); b) si se añade cualquier dígito a la derecha de la sucesión, entonces la propiedad (a) dejará de cumplirse. Demuestre que los primeros cuatro dígitos de nuestra sucesión coinciden con los últimos cuatro.

238 Varias fichas blancas y negras están colocadas a lo largo de una circunferencia. Dos hombres retiran fichas por turnos. El primero retira todas las negras que tenían al menos una vecina blanca, y el segundo, todas las blancas que tenían al menos una vecina negra. Se detienen cuando todas las fichas son del mismo color. a) Sea $40$ el número de fichas inicialmente. ¿Es posible que después de dos movimientos de cada hombre quede solo una ficha? b) Sea $1000$ el número de fichas inicialmente. ¿Cuál es el número mínimo posible de movimientos para llegar a la posición en la que quede solo una ficha?

285 El lado vertical de un cuadrado se divide en $n$ segmentos. La suma de los segmentos con longitudes de números pares es igual a la suma de los segmentos con longitudes de números impares. Se trazan $n-1$ líneas paralelas a los lados horizontales desde los extremos de los segmentos y, de este modo, se obtienen $n$ franjas. Se traza la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Esta diagonal divide cada franja en partes izquierda y derecha. Demuestre que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las franjas impares es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las franjas pares.

115 El punto $E$ se encuentra sobre la base $[AD]$ del trapecio $ABCD$. Los perímetros de los triángulos $ABE$, $BCE$ y $CDE$ son iguales. Demuestre que $|BC| = |AD|/2$.

253 Dado un cuadrilátero $ABCD$ y un punto $M$ en su interior tal que $ABMD$ es un paralelogramo. $\angle CBM = \angle CDM$. Demuestre que $\angle ACD = \angle BCM$.

328 Cada término, a partir del tercero, de dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ es igual a la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son: $a_1 = 1, a_2 = 2, b_1 = 2, b_2 = 1$. ¿Cuántos números naturales se encuentran en ambas sucesiones (pueden estar en diferentes posiciones)?

270 Un saltamontes está saltando en el ángulo $x\ge 0, y\ge 0$ del plano de coordenadas (esto significa que no puede aterrizar en un punto con coordenada negativa). Si está en el punto $(x,y)$, puede saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$. Dibuje el conjunto de tales puntos iniciales $(x,y)$ de modo que, habiendo comenzado desde allí, un saltamontes no pueda alcanzar ningún punto a una distancia mayor que $1000$ del punto $(0,0)$. Encuentre su área.

Algunos estudiantes de la facultad hablan varios idiomas y otros solo ruso. $50$ de ellos saben inglés, $50$ francés y $50$ español. Demuestre que es posible dividirlos en $5$ grupos, no necesariamente iguales, para obtener $10$ de ellos que sepan inglés, $10$ francés y $10$ español en cada grupo.