191 a) Cada uno de los lados del hexágono convexo es mayor que $1$. ¿Es necesario que tenga una diagonal mayor que $2$? b) Cada una de las diagonales principales del hexágono convexo es mayor que $2$. ¿Es necesario que tenga un lado mayor que $1$?

236 Dados varios puntos, no todos situados sobre una misma línea recta. Se asigna un número a cada punto. Se sabe que, si una línea recta contiene dos o más puntos, entonces la suma de los números asignados a dichos puntos es igual a cero. Demuestre que todos los números son iguales a cero.

Dada una línea quebrada cerrada sin autointersecciones en un plano. Ninguna terna de sus vértices pertenece a una misma línea recta. Llamemos "especial" a un par de segmentos de la línea si la extensión de uno de ellos interseca al otro. Demuestre que existe un número par de pares especiales.

284 Todos los números de dos dígitos desde $19$ hasta $80$ se escriben en una línea sin espacios. ¿Es el número obtenido $192021....7980$ divisible por $1980$ ?

286 La carga para la estación espacial "Salute" está empacada en contenedores. Hay más de $35$ contenedores y el peso total es de $18$ toneladas métricas. Hay $7$ naves de transporte de ida "Progress", cada una capaz de llevar $3$ toneladas métricas a la estación. Se sabe que son capaces de llevar un subconjunto arbitrario de $35$ contenedores. Demuestre que son capaces de llevar toda la carga.

307 La tabla rectangular tiene cuatro filas. La primera contiene números naturales arbitrarios (algunos de ellos pueden ser iguales). Las filas consecutivas se completan de acuerdo con la siguiente regla: observamos la fila anterior de izquierda a derecha hasta un cierto número $n$ y escribimos el número $k$ si $n$ apareció $k$ veces. Demuestre que la segunda fila coincide con la cuarta.

074 ¿Pueden tanto $(x^2+y)$ como $(y^2+x)$ ser cuadrados perfectos para $x$ e $y$ naturales?

305 Dados los puntos $A, B, M, N$ en la circunferencia. Dos cuerdas $[MA_1]$ y $[MA_2]$ son ortogonales a las rectas $(NA)$ y $(NB)$ respectivamente. Demuestre que las rectas $(AA_1)$ y $(BB_1)$ son paralelas.

073 a) Sean $B$ y $C$ puntos dentro del segmento $[AD]$. $|AB|=|CD|$. Demuestre que para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD|>|PB|+|PC|$$ b) Dados cuatro puntos $A,B,C,D$ en el plano. Para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD| > |PB|+|PC|.$$ Demuestre que los puntos $B$ y $C$ están dentro del segmento $[AD]$ y $|AB|=|CD|$.

208 a) Dado un cuadrado grande que consiste en $7\times 7$ cuadrados. Usted debe marcar los centros de $k$ puntos de tal manera que ninguna cuádrupla de los puntos marcados sea el vértice de un rectángulo con los lados paralelos a los lados de los cuadrados dados. ¿Cuál es el mayor $k$ tal que el problema tiene solución? b) El mismo problema para un cuadrado de $13\times 13$.