2 Se escribe un entero positivo en cada cuadrado de $1 \times 1$ de un tablero de $m \times n$. Se permiten las siguientes operaciones: (1) En una fila seleccionada arbitrariamente del tablero, todos los números deben reducirse en $1$. (2) En una columna seleccionada arbitrariamente del tablero, duplicar todos los números. ¿Es siempre posible, después de un número finito de pasos, que todos los números escritos en el tablero sean iguales a $-1$? (Explique la respuesta.)

Se escriben enteros positivos del 1 al 9 en cada casilla de una tabla de $ 3 \times 3 $. Definamos una operación de la siguiente manera: tome una fila o columna arbitraria y reemplace estos números $ a, b, c $ por números no negativos $ a-x, b-x, c+x $ o $ a+x, b-x, c-x $, donde $ x $ es un número positivo y puede variar en cada operación. (1) ¿Existe una serie de operaciones tal que los 9 números resulten ser iguales a partir de la siguiente disposición inicial a)? b)? \[ a) \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \] \[ b) \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 5 \\ 9 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 1 \end{array} \] (2) Determine el valor máximo al cual los 9 números resultan ser iguales después de algunos pasos.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A.$ Los puntos $B'$ y $C'$ yacen sobre los rayos $AB$ y $AC,$ respectivamente, de tal manera que los puntos $B',$ $C'$ y $D$ son colineales y los puntos $B,$ $C,$ $B'$ y $C'$ yacen sobre un mismo círculo con centro $O.$ Demuestre que si $M$ es el punto medio de $BC$ y $H$ es el ortocentro de $ABC,$ entonces $DHMO$ es un paralelogramo.

Un grupo de piratas tuvo una discusión y no todos ellos apuntan a otros dos con sus armas. Todos los piratas son llamados uno por uno en algún orden. Si el pirata llamado aún está vivo, dispara a ambos piratas a los que apunta (algunos de los cuales podrían estar ya muertos). Todos los disparos son inmediatamente letales. Después de que todos los piratas han sido llamados, resulta que exactamente $28$ piratas fueron asesinados. Demuestre que si los piratas fueran llamados en cualquier otro orden, al menos $10$ piratas habrían sido asesinados de todas formas.

Tres discos se tocan dos a dos desde el exterior en los puntos $X, Y, Z$. Luego, los radios de los discos se expandieron $2/\sqrt3$ veces, y los centros se mantuvieron. Demuestre que el triángulo $XYZ$ está completamente cubierto por los discos expandidos.

372 Demuestre que para todo $a$ y $b$ positivos se cumple la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{2} + \frac{a+b}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$$

087 a) ¿Puede usted colocar los números $0,1,...,9$ en la circunferencia de tal manera que la diferencia entre cada dos vecinos sea $3$, $4$ o $5$? b) La misma pregunta, pero para los números $0,1,...,13$.

373 Dados dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ en el plano. (Los vértices se mencionan en sentido antihorario.) Dibujamos vectores $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$, desde un punto arbitrario $O$, iguales a $\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{B_1B_2}, \overrightarrow{C_1C_2}$ respectivamente. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

374 Dados cuatro colores y suficientes placas cuadradas de $1\times 1$. Debemos pintar los cuatro bordes de cada placa con cuatro colores diferentes y combinar las placas, colocándolas con los bordes del mismo color juntos. Describa todos los pares $m,n$ tales que podamos combinar dichas placas en un rectángulo de $n\times m$ que tenga cada borde de un color, y sus cuatro bordes tengan colores diferentes.

086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.