5 Sea $\mathbb{R}_{>0}$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentre todas las funciones estrictamente monótonas (crecientes o decrecientes) $f:\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$ tales que existe un polinomio de dos variables $P(x, y)$ con coeficientes reales que satisface $$ f(xy)=P(f(x), f(y)) $$ para todo $x, y\in\mathbb{R}_{>0}$. Propuesto por Navid Safaei, Irán

3 Para enteros dados $n>0$ y $k> 1$, sea $F_{n,k}(x,y)=x!+n^k+n+1-y^k$. Demuestre que existen solo un número finito de parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $F_{n,k}(a,b)=0$.

4 Ana juega un juego en un tablero de ajedrez de $100\times 100$. Inicialmente, hay un peón blanco en cada casilla de la fila inferior y un peón negro en cada casilla de la fila superior, y no hay otros peones en ninguna otra parte. Cada peón blanco se mueve hacia la fila superior y cada peón negro se mueve hacia la fila inferior de una de las siguientes maneras: se mueve a la casilla directamente frente a él si no hay otro peón en ella; captura un peón en una de las casillas diagonalmente adyacentes en la fila inmediatamente frente a él si hay un peón del color opuesto en ella. (Decimos que un peón $P$ captura a un peón $Q$ del color opuesto si retiramos a $Q$ del tablero y movemos a $P$ a la casilla en la que estaba $Q$ anteriormente). Ana puede mover cualquier peón (no necesariamente alternando entre negro y blanco) de acuerdo con esas reglas. ¿Cuál es el número mínimo de peones que pueden permanecer en el tablero después de que no se puedan realizar más movimientos? Propuesto por José Alejandro Reyes González, México

3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula cuadrada con $2024 \times 2024$ cuadrados unitarios. Se turnan para cubrir cuadrados unitarios con pegatinas que incluyen sus nombres. Alice juega los turnos impares y Bob juega los turnos pares. En el turno $k$-ésimo, sea $n_k$ el menor entero tal que $n_k\geqslant\tfrac{k}{2024}$. Si hay al menos un cuadrado sin pegatina, entonces el jugador que toma el turno: selecciona como máximo $n_k$ cuadrados unitarios en la cuadrícula de tal manera que al menos uno de los cuadrados unitarios elegidos no tenga una pegatina. Cubre cada uno de los cuadrados unitarios seleccionados con una pegatina que tiene su nombre. Si un cuadrado seleccionado ya tiene una pegatina, entonces esa pegatina se retira primero. Al final de su turno, un jugador gana si existen $123$ cuadrados unitarios que contienen pegatinas con el nombre de ese jugador que están colocados en cuadrados unitarios consecutivos horizontal, vertical o diagonalmente. Consideramos que el juego es un empate si todos los cuadrados unitarios están cubiertos pero ningún jugador ha ganado todavía. ¿Tiene Alice una estrategia ganadora? Propuesto por Erik Paemurru, Estonia

030 Sean $a$ y $b$ números naturales primos entre sí. Demuestre que el máximo común divisor de $(a+b)$ y $(a^2+b^2)$ es $1$ o $2$.

042 Demuestre que para ningún natural $m$ un número $m(m+1)$ es una potencia de un entero.

041 Las dos alturas en el triángulo no son menores que los lados respectivos. Encuentre los ángulos.

Dados los primeros $1000000000$ números naturales. Reemplazamos cada número por la suma de sus dígitos y repetimos este procedimiento hasta que queden $1000000000$ números de un solo dígito. ¿Hay más " $1$ " -s o " $2$ " -s?

029 a) Cada diagonal del cuadrilátero divide su área a la mitad. Demuestre que es un paralelogramo. b) Las tres diagonales principales del hexágono dividen su área a la mitad. Demuestre que se intersecan en un punto.

Se escriben enteros positivos del 1 al 9 en cada casilla de una tabla de $ 3 \times 3 $. Definamos una operación de la siguiente manera: tome una fila o columna arbitraria y reemplace estos números $ a, b, c $ por números no negativos $ a-x, b-x, c+x $ o $ a+x, b-x, c-x $, donde $ x $ es un número positivo y puede variar en cada operación. (1) ¿Existe una serie de operaciones tal que los 9 números resulten ser iguales a partir de la siguiente disposición inicial a)? b)? \[ a) \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \] \[ b) \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 5 \\ 9 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 1 \end{array} \] (2) Determine el valor máximo al cual los 9 números resultan ser iguales después de algunos pasos.