286 La carga para la estación espacial "Salute" está empacada en contenedores. Hay más de $35$ contenedores y el peso total es de $18$ toneladas métricas. Hay $7$ naves de transporte de ida "Progress", cada una capaz de llevar $3$ toneladas métricas a la estación. Se sabe que son capaces de llevar un subconjunto arbitrario de $35$ contenedores. Demuestre que son capaces de llevar toda la carga.

084 a) La altura máxima $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$. Demuestre que el ángulo $ABC$ no es mayor a $60$ grados. b) La altura $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$ y a la bisectriz $|CD|$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

085 a) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que la suma del número dado y el número obtenido no puede ser igual a $999...9$ ($1967$ nueves). b) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que si la suma del número dado y el número obtenido es igual a $1010$, entonces el número dado era divisible por $10$.

086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

129 Dado un círculo, su diámetro $[AB]$ y un punto $C$ en él. Construya (con la ayuda de regla y compás) dos puntos $X$ e $Y$, que sean simétricos con respecto a la recta $(AB)$, tales que $(YC)$ sea ortogonal a $(XA)$.

255 Dado un conjunto finito $K_0$ de puntos (en el plano o en el espacio). La sucesión de conjuntos $K_1, K_2, ... , K_n, ...$ se construye de acuerdo con la siguiente regla: tomamos todos los puntos de $K_i$, añadimos todos los puntos simétricos con respecto a todos sus puntos y, de este modo, obtenemos $K_{i+1}$. a) Sea $K_0$ un conjunto que consiste en dos puntos $A$ y $B$ con una distancia de $1$ unidad entre ellos. ¿Para qué $n$ el conjunto $K_n$ contiene el punto que está a $1000$ unidades de distancia de $A$? b) Sea $K_0$ un conjunto que consiste en tres puntos que son los vértices de un triángulo equilátero con lado unidad. Encuentre el área del polígono convexo mínimo que contiene a $K_n$. $K_0$ a continuación es el conjunto de los vértices de un tetraedro de volumen unidad. c) ¿Cuántas caras contiene el poliedro convexo mínimo que contiene a $K_1$? d) ¿Cuál es el volumen del poliedro mencionado anteriormente? e) ¿Cuál es el volumen del poliedro convexo mínimo que contiene a $K_n$?

147 Dado un cuadrado unitario y algunos círculos en su interior. El radio de cada círculo es menor que $0.001$, y no existe ningún par de puntos pertenecientes a círculos diferentes cuya distancia entre ellos sea exactamente $0.001$. Demuestre que el área cubierta por los círculos no es mayor que $0.34$.

285 El lado vertical de un cuadrado se divide en $n$ segmentos. La suma de los segmentos con longitudes de números pares es igual a la suma de los segmentos con longitudes de números impares. Se trazan $n-1$ líneas paralelas a los lados horizontales desde los extremos de los segmentos y, de este modo, se obtienen $n$ franjas. Se traza la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Esta diagonal divide cada franja en partes izquierda y derecha. Demuestre que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las franjas impares es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las franjas pares.

146 a) Un juego para dos. El primer jugador escribe dos filas de diez números cada una, la segunda debajo de la primera. Debe cumplir la siguiente propiedad: si el número $b$ está escrito debajo de $a$, y $d$ debajo de $c$, entonces $a + d = b + c$. El segundo jugador debe determinar todos los números. Se le permite hacer preguntas como "¿Qué número está escrito en la posición $x$ de la fila $y$?". ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que debe hacer el segundo jugador antes de descubrir todos los números? b) Había una tabla $m\times n$ en la pizarra con la propiedad: si usted elige dos filas y dos columnas, entonces la suma de los números en los dos vértices opuestos de los rectángulos formados por esas líneas es igual a la suma de los números en los otros dos vértices. Algunos de los números han sido borrados, pero todavía es posible restaurar toda la tabla. ¿Cuál es el número mínimo posible de números restantes?

087 a) ¿Puede usted colocar los números $0,1,...,9$ en la circunferencia de tal manera que la diferencia entre cada dos vecinos sea $3$, $4$ o $5$? b) La misma pregunta, pero para los números $0,1,...,13$.