4 Sea $n$ un entero positivo. Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores naturales $d$ de $n$ (incluyendo $1$ y $n$). Decimos que un entero $m \geq 1$ es superabundante (P.Erdos, $1944$) si $\forall k \in \{1, 2, \dots , m - 1 \}$, $\frac{\sigma(m)}{m} >\frac{\sigma(k)}{k}.$ Demuestre que existe una infinidad de números superabundantes. Amir

4. Suponga que cuatro personas A, B, C y D deciden jugar partidos de tenis en dobles. Primero podrían jugar el equipo A y B contra el equipo C y D. Luego, A y C podrían jugar contra B y D. Finalmente, A y D podrían jugar contra B y C. La ventaja de este arreglo es que se satisfacen dos condiciones: (a) Cada jugador está en el mismo equipo que cada uno de los otros jugadores exactamente una vez. (b) Cada jugador está en el equipo contrario a cada uno de los otros jugadores exactamente dos veces. ¿Es posible organizar una colección de partidos de tenis que satisfaga tanto la condición (a) como la condición (b) en las siguientes circunstancias? (i) Hay cinco jugadores. (ii) Hay siete jugadores. (iii) Hay nueve jugadores.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB=AC$, sea $D$ el punto medio del lado $AC$, y sea $\gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABD$. La tangente a $\gamma$ en $A$ corta a la recta $BC$ en $E$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABE$. Demuestre que el punto medio del segmento $AO$ yace sobre $\gamma$. Propuesto por Sam Bealing, Reino Unido

5 Igual que en Seniors

1 Sean $A$, $B$ y $C$ puntos situados en un círculo $\Gamma$ con centro $O$. Suponga que $\angle ABC > 90$. Sea $D$ el punto de intersección de la recta $AB$ con la recta perpendicular a $AC$ en $C$. Sea $l$ la recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $AO$. Sea $E$ el punto de intersección de $l$ con la recta $AC$, y sea $F$ el punto de intersección de $\Gamma$ con $l$ que se encuentra entre $D$ y $E$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $BFE$ y $CFD$ son tangentes en $F$.

6 Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y su circuncentro, respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se cortan en un punto $A'$ distinto de $A$; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto sobre la recta $IO$. (Rusia) Fedor Ivlev

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$. Sea $D$ el punto medio de $AC$, $E$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$, y $F$ el punto de intersección de $AB$ y $DE$. El punto $H$ se encuentra en el arco $BC$ de $\omega$ (el que no contiene a $A$) tal que $\angle BHE=\angle ABC$. Demuestre que $\angle BHF=90^\circ$.

2 ¿Es posible organizar enteros en las celdas de una cuadrícula infinita de modo que cada entero aparezca al menos en una celda, y la suma de cualesquiera $10$ números en una fila vertical u horizontal sea divisible por $101$?

2 Sea $\mathbb{Z}_{>0}=\{1,2,3,...\}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para cada entero positivo $n$, $\hspace{1cm}i) \sum_{k=1}^{n}f(k)$ es un cuadrado perfecto, y $\vspace{0.1cm}$ $\hspace{1cm}ii) f(n)$ divide a $n^3$. Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

3 Sea $k$ un entero positivo. Determine el menor entero positivo $n$, con $n\geq k+1$, para el cual el juego descrito a continuación puede jugarse indefinidamente: Considere $n$ cajas, etiquetadas $b_1,b_2,...,b_n$. Para cada índice $i$, la caja $b_i$ contiene exactamente $i$ monedas. En cada paso, se realizan los siguientes tres subpasos en orden: (1) Elija $k+1$ cajas; (2) De estas $k+1$ cajas, elija $k$ y retire al menos la mitad de las monedas de cada una, y añada a la caja restante, si está etiquetada como $b_i$, un número de $i$ monedas. (3) Si una de las cajas queda vacía, el juego termina; de lo contrario, pase al siguiente paso. Propuesto por Demetres Christofides, Chipre