Los números naturales $1, 2, 3, \dots, 100$ están contenidos en la unión de $N$ progresiones geométricas (no necesariamente con razones enteras). Demuestre que $N \ge 31$.

3 Considere un triángulo $ABC$ con alturas $AD$, $BE$ y $CF$, y ortocentro $H$. Sea la recta perpendicular desde $H$ a $EF$ que interseca a $EF$, $AB$ y $AC$ en $P$, $T$ y $L$, respectivamente. El punto $K$ se encuentra en el lado $BC$ tal que $BD=KC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $H$ y $P$, que es tangente a $AH$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $ATL$ y $\omega$ son tangentes, y que $KH$ pasa por el punto de tangencia.

3 Sea $n$ un entero positivo. Sea $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2, \dots, 3^n \}.$ Para cada subconjunto $X$ de $P_n$, denotamos por $S_X$ la suma de todos los elementos de $X$, con la convención de que $S_{\emptyset}=0$ donde $\emptyset$ es el conjunto vacío. Suponga que $y$ es un número real tal que $0 \leq y \leq 3^{n+1}-2^{n+1}.$ Demuestre que existe un subconjunto $Y$ de $P_n$ tal que $0 \leq y-S_Y < 2^n.$

6 Resuelva en enteros el sistema de ecuaciones: $$x^2-y^2=z$$ $$3xy+(x-y)z=z^2$$

15 Encuentre todas las sucesiones finitas posibles $\{n_0, n_1, n_2, \ldots, n_k \}$ de enteros tales que para cada $i$, $i$ aparece en la sucesión $n_i$ veces $(0 \leq i \leq k).$ Amir

14 Sea $\ell$ tangente al círculo $k$ en $B$. Sea $A$ un punto en $k$ y $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $\ell$. Sea $M$ el simétrico de $P$ con respecto a $AB$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$. Amir

13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales a $p.$ Demuestre que para cada número natural $r$ menor o igual a $p,$ existen dos números (posiblemente iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\] Amir

9 Considere el conjunto de todas las sucesiones estrictamente decrecientes de $n$ números naturales que tienen la propiedad de que en cada sucesión ningún término divide a ningún otro término de la misma. Sean $A = (a_j)$ y $B = (b_j)$ dos sucesiones cualesquiera de este tipo. Decimos que $A$ precede a $B$ si para algún $k$, $a_k < b_k$ y $a_i = b_i$ para $i < k$. Encuentre los términos de la primera sucesión del conjunto bajo este orden. Amir

8 Sobre los lados del triángulo $ABC$, se construyen tres triángulos isósceles semejantes $ABP \ (AP = PB)$, $AQC \ (AQ = QC)$ y $BRC \ (BR = RC)$. Los dos primeros se construyen externamente al triángulo $ABC$, pero el tercero se coloca en el mismo semiplano determinado por la recta $BC$ que el triángulo $ABC$. Demuestre que $APRQ$ es un paralelogramo. Amir

2 Sobre los lados de un hexágono convexo $ABCDEF$, se construyen triángulos equiláteros en su exterior. Demuestre que los terceros vértices de estos seis triángulos son vértices de un hexágono regular si y solo si el hexágono inicial es afín regular. (Un hexágono se denomina afín regular si es centralmente simétrico y cualesquiera dos lados opuestos son paralelos a la diagonal determinada por los dos vértices restantes). N.T.TUAN