73 Sea $ABC$ un triángulo no equilátero. Demuestre que existen dos puntos $P$ y $Q$ en el plano del triángulo, uno en el interior y otro en el exterior del circuncírculo de $ABC$, tales que las proyecciones ortogonales de cualquiera de estos dos puntos sobre los lados del triángulo son vértices de un triángulo equilátero. Amir

43 Dado un cuadrado $ABCD$, sean $P, Q, R$ y $S$ cuatro puntos variables sobre los lados $AB, BC, CD$ y $DA$, respectivamente. Determine las posiciones de los puntos $P, Q, R$ y $S$ para las cuales el cuadrilátero $PQRS$ es un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado o un trapecio. Amir

72 Demuestre que para todo $x_1, x_2,\ldots , x_n \in \mathbb R$ se cumple la siguiente desigualdad: \[\sum_{n \geq i >j \geq 1} \cos^2(x_i - x_j ) \geq \frac{n(n-2)}{4}\] Amir

42 Considere el cuadrado $ABCD$ en el cual se traza un segmento entre cada vértice y los puntos medios de ambos lados opuestos. Encuentre la razón entre el área del octágono determinado por estos segmentos y el área del cuadrado $ABCD.$ Amir

20 Sean $f$ y $g$ funciones del conjunto $A$ en el mismo conjunto $A$. Definimos $f$ como una raíz funcional $n$-ésima de $g$ ($n$ es un entero positivo) si $f^n(x) = g(x)$, donde $f^n(x) = f^{n-1}(f(x)).$ (a) Demuestre que la función $g : \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = 1/x$ tiene un número infinito de raíces funcionales $n$-ésimas para cada entero positivo $n.$ (b) Demuestre que existe una biyección de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que no tiene ninguna raíz funcional $n$-ésima para cada entero positivo $n.$ Amir

58 En una prueba, participan $3n$ estudiantes, quienes están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes cada una. Los estudiantes abandonan el salón de la prueba uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$, encuentre la probabilidad de que para cada $t$ durante la prueba, \[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, 3.\] Amir

19 Sea $a$ un entero positivo y sea $\{a_n\}$ una sucesión definida por $a_0 = 0$ y \[a_{n+1 }= (a_n + 1)a + (a + 1)a_n + 2 \sqrt{a(a + 1)a_n(a_n + 1)} \qquad (n = 1, 2 ,\dots ).\] Demuestre que para cada entero positivo $n$, $a_n$ es un entero positivo. Amir

17 ¿De cuántas formas se pueden organizar los números $1, 2, \ldots, 2n$ en una matriz rectangular de $2 \times n$ $\left(\begin{array}{cccc}a_1& a_2 & \cdots & a_n\\b_1& b_2 & \cdots & b_n\end{array}\right)$ tal que: (i) $a_1 < a_2 < \cdots < a_n,$ (ii) $b_1 < b_2 <\cdots < b_n,$ (iii) $a_1 < b_1, a_2 < b_2, \ldots, a_n < b_n \ ?$ Amir

37 Los puntos $A_1,A_2, \ldots , A_{1983}$ están situados en la circunferencia de un círculo y a cada uno se le asigna uno de los valores $\pm 1$. Demuestre que si el número de puntos con el valor $+1$ es mayor que $1789$, entonces al menos $1207$ de los puntos tendrán la propiedad de que las sumas parciales que pueden formarse tomando los números desde ellos hasta cualquier otro punto, en cualquier dirección, son estrictamente positivas. Amir

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de $n$ colores distintos de modo que cada color se utilice al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentre todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij