58 En una prueba, participan $3n$ estudiantes, quienes están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes cada una. Los estudiantes abandonan el salón de la prueba uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$, encuentre la probabilidad de que para cada $t$ durante la prueba, \[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, 3.\] Amir

57 En el sistema de base $n^2 + 1$ encuentre un número $N$ con $n$ dígitos diferentes tal que: (i) $N$ sea un múltiplo de $n$. Sea $N = nN'$. (ii) El número $N$ y $N'$ tengan el mismo número $n$ de dígitos diferentes en base $n^2 + 1$, ninguno de los cuales sea cero. (iii) Si $s(C)$ denota el número en base $n^2 + 1$ obtenido al aplicar la permutación $s$ a los $n$ dígitos del número $C$, entonces para cada permutación $s$, $s(N) = ns(N')$. Amir

55 Para cada $a \in \mathbb N$, denote por $M(a)$ el número de elementos del conjunto \[ \{ b \in \mathbb N | a + b \text{ es un divisor de } ab \}.\] Encuentre $\max_{a\leq 1983} M(a).$ Amir

54 Encuentre todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones con $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado. Amir

53 Sea $a \in \mathbb R$ y sean $z_1, z_2, \ldots, z_n$ números complejos de módulo $1$ que satisfacen la relación \[\sum_{k=1}^n z_k^3=4(a+(a-n)i)- 3 \sum_{k=1}^n \overline{z_k}\] Demuestre que $a \in \{0, 1,\ldots, n \}$ y $z_k \in \{1, i \}$ para todo $k.$ Amir

52 Sea $(F_n)_{n\geq 1} $ la sucesión de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ y $P(x)$ el polinomio de grado $990$ que satisface \[ P(k) = F_k, \qquad \text{ para } k = 992, . . . , 1982.\] Demuestre que $P(1983) = F_{1983} - 1.$ Amir

51 Decida si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: (i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tales que $a+b = m.$ (ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$ Amir

50 ¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales a $10^5$, tales que no haya tres de ellos que sean términos consecutivos de una progresión aritmética?

49 Dados enteros positivos $k, m, n$ con $km \leq n$ y números reales no negativos $x_1, \ldots , x_k$, demuestre que \[n \left( \prod_{i=1}^k x_i^m -1 \right) \leq m \sum_{i=1}^k (x_i^n-1).\] Amir

48 Demuestre que en cualquier paralelepípedo la suma de las longitudes de las aristas es menor o igual al doble de la suma de las longitudes de las cuatro diagonales. Amir