2 Demuestre que para todos los números reales positivos $a,b,c$ , \[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \geq 1. \]

1 Considere un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que parte del vértice $A$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Suponga que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$. Demuestre que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$.

8 Para un grafo finito $G$, sea $f(G)$ el número de triángulos y $g(G)$ el número de tetraedros formados por las aristas de $G$. Encuentre la menor constante $c$ tal que \[g(G)^3\le c\cdot f(G)^4\] para todo grafo $G$. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

7 Defina un "gancho" como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen a continuación, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy] unitsize(0.5 cm); draw((0,0)--(1,0)); draw((0,1)--(1,1)); draw((2,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,3)--(3,3)); draw((0,0)--(0,3)); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,1)--(2,3)); draw((3,1)--(3,3)); [/asy] Determine todos los rectángulos $m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos, de tal manera que: - el rectángulo sea cubierto sin huecos y sin superposiciones; - ninguna parte de un gancho cubra un área fuera del rectángulo. Valentin

6 Para una matriz ${n\times n}$ $A$, sea $X_{i}$ el conjunto de entradas en la fila $i$, y $Y_{j}$ el conjunto de entradas en la columna $j$, ${1\leq i,j\leq n}$. Decimos que $A$ es dorada si ${X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ son conjuntos distintos. Encuentre el menor entero $n$ tal que existe una matriz dorada ${2004\times 2004}$ con entradas en el conjunto ${\{1,2,\dots ,n\}}$.

5 $A$ y $B$ juegan un juego, dado un entero $N$, $A$ escribe primero $1$, luego cada jugador ve el último número escrito y si es $n$, entonces en su turno escribe $n+1$ o $2n$, pero su número no puede ser mayor que $N$. El jugador que escribe $N$ gana. ¿Para qué valores de $N$ gana $B$? Propuesto por A. Slinko y S. Marshall, Nueva Zelanda

4 Considere una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto no mayor a $1$. La suma de todas las entradas de la matriz es $0$. Sea $n$ un entero positivo par. Determine el menor número $C$ tal que toda matriz de este tipo necesariamente tiene una fila o una columna cuya suma de sus entradas no excede $C$ en valor absoluto. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

3 Se permite la siguiente operación en un grafo finito: elija un ciclo arbitrario de longitud 4 (si existe alguno), elija una arista arbitraria en dicho ciclo y elimínela del grafo. Para un entero fijo ${n\ge 4}$, encuentre el número mínimo de aristas de un grafo que puede obtenerse mediante aplicaciones repetidas de esta operación a partir del grafo completo de $n$ vértices (donde cada par de vértices está unido por una arista). Propuesto por Norman Do, Australia

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de $n$ colores distintos de modo que cada color se utilice al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentre todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij

1 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con $2m+1$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico