1 Desde un punto $A$ fuera de un círculo de radio $R$, se trazan una línea secante que pasa por el centro y una línea tangente. La secante corta al círculo en $C$ y $D$ ($AC < AD$), y la tangente toca al círculo en $B$. Encuentre la longitud de $CB$ si $AC = a$. MR.1

2019.7.5 Se marca un punto $T$ en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ de tal manera que $AT$ es la bisectriz del ángulo $\angle BAC$. Se marca un punto $S$ en la semirrecta $AT$ tal que $AS = CT$. Demuestre que $AS = CS$ si y solo si $AT = TB$.

Se escriben ceros en todas las casillas de un tablero de $5\times 5$. Podemos elegir una casilla arbitraria y aumentar en 1 el número en esta casilla y en las casillas que tienen un lado común con ella. ¿Es posible obtener el número 2012 en todas las casillas simultáneamente?

2022.8.4 En un triángulo acutángulo $ABC$ se traza la altura $AD$. Se sabe que $2CD = BD$. Sea $K \ne A$ un punto en el círculo circunscrito del triángulo $ABC$ tal que $AK \parallel BC$. Sea $S$ el punto medio de $AB$. Demuestre que la recta $SK$ es perpendicular a la recta $BC$.

1 Pedro escribe todos los números con cuatro dígitos diferentes que se pueden formar con los dígitos $a, b, c, d$, que cumplen las siguientes condiciones: $$ a\ne 0 \, , \, b=a+2 \, , \, c=b+2 \, , \, d=c+2$$ Encuentre la suma de todos los números que escribió Pedro.

2018.7.10 Todos los lados del pentágono convexo $ABCDE$ son iguales, y $\angle BCD=2\angle ACE$. Encuentre $\angle ACE$.

2023.8.2 En un triángulo acutángulo $ABC$ ( $BA\ne BC$ ), se trazan las alturas $BE$ y $CF$. Los puntos $M, N$ son los puntos medios de los lados $BC, CA$, respectivamente. La recta $CF$ corta al círculo circunscrito del triángulo $BEN$ en los puntos $X$ e $Y$. Demuestre que los puntos $A, M, X, Y$ yacen sobre el mismo círculo.

3 Sean $n$, $m$ y $k$ enteros positivos que satisfacen $(n-1)n(n+1)=m^k.$ Demuestre que $k=1.$

2 Seis miembros del equipo de Fatalia para la Olimpiada Internacional de Matemáticas son seleccionados de entre $13$ candidatos. En la TST, los candidatos obtuvieron $a_1, a_2, \ldots, a_{13}$ puntos, con $a_i \neq a_j$ si $i \neq j$. El líder del equipo ya tiene a $6$ candidatos y ahora desea verlos a ellos y a nadie más en el equipo. Con ese fin, construye un polinomio $P(x)$ y encuentra el potencial creativo de cada candidato mediante la fórmula $c_i = P(a_i)$. ¿Para qué $n$ mínimo puede él encontrar siempre un polinomio $P(x)$ de grado no superior a $n$ tal que el potencial creativo de los $6$ candidatos sea estrictamente mayor que el de los otros $7$? Propuesto por F. Petrov, K. Sukhov

3 ¿Existen enteros $x,y,z,k>1$ tales que: $\text{(1)} \; x, y, z$ tienen exactamente $k$ divisores mayores que $1$. $\text{(2)} \;$ Existe una permutación $a_1, a_2, \cdots, a_k$ de los $k$ divisores de $x$ mayores que $1$ y una permutación $b_1, b_2, \cdots, b_k$ de los $k$ divisores de $y$ mayores que $1$ tales que $a_i+b_i$ para todo $1 \le i \le k$ son todos los divisores de $z$ mayores que $1$?