8 Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=1$. Demuestre la siguiente desigualdad \[ \sum \frac{a}{a^3+bc} >3 . \] Propuesto por A. Khrabrov

8.4 Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo equilátero con lados de longitud $n$ se divide en triángulos equiláteros con longitudes de lado $1$, formando una red triangular. Llame "importante" a un triángulo equilátero con vértices en la red. Sea $p_k$ el número de pares no ordenados de vértices en la red que participan en exactamente $k$ triángulos importantes. Encuentre (como una función de $n$) (a) $p_0+p_1+p_2$ (b) $p_1+2p_2$

4 En un cuadrado $ABCD$ de diagonales $AC$ y $BD$, llamamos $O$ al centro del cuadrado. Se construye un cuadrado $PQRS$ con lados paralelos a los de $ABCD$ con $P$ en el segmento $AO$, $Q$ en el segmento $BO$, $R$ en el segmento $CO$, $S$ en el segmento $DO$. Si el área de $ABCD$ es igual al doble del área de $PQRS$, y $M$ es el punto medio del lado $AB$, calcule la medida del ángulo $\angle AMP$.

9.3, 9.4 $9.3$ Un número natural se llama libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Para un número natural $a$, consideramos el número $f(a) = a^{a+1} + 1$. Demuestre que: a) si $a$ es par, entonces $f(a)$ no es libre de cuadrados; b) existen infinitos $a$ impares para los cuales $f(a)$ no es libre de cuadrados. $9.4$ Llamaremos $2n$-paralelogramo generalizado a un polígono convexo con $2n$ lados, tal que, recorridos consecutivamente, el $k$-ésimo lado es paralelo e igual al $(n+k)$-ésimo lado para $k=1, 2, ... , n$. En un sistema de coordenadas rectangulares, se da un paralelogramo generalizado con $50$ vértices, cada uno con coordenadas enteras. Demuestre que su área es al menos $300$.

1 Pedro escribe todos los números con cuatro dígitos diferentes que se pueden formar con los dígitos $a, b, c, d$, que cumplen las siguientes condiciones: $$ a\ne 0 \, , \, b=a+2 \, , \, c=b+2 \, , \, d=c+2$$ Encuentre la suma de todos los números que escribió Pedro.

2 El triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ y $R$ es el punto medio de la hipotenusa $BC$. En el cateto mayor $AB$ se marca el punto $P$ tal que $CP = BP$ y en el segmento $BP$ se marca el punto $Q$ tal que el triángulo $PQR$ es equilátero. Si el área del triángulo $ABC$ es $27$, calcule el área del triángulo $PQR$.

3 Encuentre el entero positivo más pequeño que termina en $56$, es múltiplo de $56$ y cuya suma de dígitos es igual a $56$.

4 Celia elige un número $n$ y escribe la lista de números naturales del $1$ al $n$: $1, 2, 3, 4, ..., n-1, n.$ En cada paso, cambia la lista: copia el primer número al final y elimina los dos primeros. Después de $n-1$ pasos, quedará escrito un único número. Por ejemplo, para $n=6$ los cinco pasos son: $$ 1,2,3,4,5,6 \to 3,4,5,6,1 \to 5,6,1,3 \to 1,3,5 \to 5,1 \to 5$$ y el número $5$ es el que queda escrito. Celia eligió un número $n$ entre $1000$ y $3000$ y, después de $n-1$ pasos, el número $1$ fue el que quedó escrito. Determine todos los valores de $n$ que Celia pudo haber elegido. Justifique por qué esos valores funcionan y los otros no.

5 Tenemos un tablero cuadriculado de $4 \times 4$. Definimos la separación entre dos casillas como el número mínimo de movimientos que un caballo de ajedrez debe realizar para ir de una casilla a la otra (usando movimientos de caballo). Tres casillas $A, B, C$ forman un buen trío si las tres separaciones entre $A$ y $B$, entre $A$ y $C$ y entre $B$ y $C$ son iguales. Determine el número de buenos tríos que se forman en el tablero. Aclaración: En cada movimiento, el caballo se desplaza $2$ casillas en dirección horizontal más una casilla en dirección vertical, o se desplaza $2$ casillas en dirección vertical más una casilla en dirección horizontal.

3 ¿Existen enteros $x,y,z,k>1$ tales que: $\text{(1)} \; x, y, z$ tienen exactamente $k$ divisores mayores que $1$. $\text{(2)} \;$ Existe una permutación $a_1, a_2, \cdots, a_k$ de los $k$ divisores de $x$ mayores que $1$ y una permutación $b_1, b_2, \cdots, b_k$ de los $k$ divisores de $y$ mayores que $1$ tales que $a_i+b_i$ para todo $1 \le i \le k$ son todos los divisores de $z$ mayores que $1$?