2 Se da un hexágono convexo $ABCDEF$ tal que $AB||DE$, $BC||EF$, $CD||FA$. Los puntos $M, N, K$ son los puntos comunes de las rectas $BD$ y $AE$, $AC$ y $DF$, $CE$ y $BF$ respectivamente. Demuestre que las perpendiculares trazadas desde $M, N, K$ a las rectas $AB, CD, EF$ respectivamente son concurrentes.

Se escriben ceros en todas las casillas de un tablero de $5\times 5$. Podemos elegir una casilla arbitraria y aumentar en 1 el número en esta casilla y en las casillas que tienen un lado común con ella. ¿Es posible obtener el número 2012 en todas las casillas simultáneamente?

1 Encuentre todos los $k>0$ para los cuales existe una función estrictamente decreciente $g:(0;+\infty)\to(0;+\infty)$ tal que $g(x)\geq kg(x+g(x))$ para todo $x$ positivo.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hacia $BC$ y sea $M$ el punto medio de $OD$. Los puntos $O_b$ y $O_c$ son los circuncentros de los triángulos $AOC$ y $AOB$, respectivamente. Si $AO=AD$, demuestre que los puntos $A$, $O_b$, $M$ y $O_c$ son concíclicos. Marin Hristov y Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

3 Encuentre el entero positivo más pequeño que termina en $56$, es múltiplo de $56$ y cuya suma de dígitos es igual a $56$.

3 Alice y Bob juegan el siguiente juego en una cuadrícula de $100\times 100$, turnándose, con Alice comenzando primero. Inicialmente, la cuadrícula está vacía. En su turno, eligen un entero del $1$ al $100^2$ que aún no se haya escrito en ninguna de las celdas y eligen una celda vacía, y lo colocan en la celda elegida. Cuando no queda ninguna celda vacía, Alice calcula la suma de los números en cada fila, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Bob calcula la suma de los números en cada columna, y su puntuación es el máximo de estos $100$ números. Alice gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Bob, Bob gana si su puntuación es mayor que la puntuación de Alice; de lo contrario, nadie gana. Determine si uno de los jugadores tiene una estrategia ganadora y, de ser así, qué jugador tiene una estrategia ganadora. Théo Lenoir, Francia

2 Dentro de un cuadrado de $11\times 11$, Pablo dibujó un rectángulo y, extendiendo sus lados, dividió el cuadrado en $5$ rectángulos, como se muestra en la figura. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/5/a/7774da7085f283b3aae74fb5ff472572571827.gif Sofía hizo lo mismo, pero además logró que las longitudes de los lados de los $5$ rectángulos fueran números enteros entre $1$ y $10$, todos diferentes. Muestre una figura como la que hizo Sofía.

1 Sea $\{x_n \}$ una sucesión de números reales tal que $x_1=1$ y para todo $n \ge 2$ tenemos que, entre todas las permutaciones $a_1, a_2, \cdots, a_n$ de $\{1, 2, \cdots, n \}$, la suma $a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n$ tiene un mínimo en $0$. Encuentre todos los valores posibles de $x_{2025}$.

2 Demuestre que para todos los números reales no negativos $x,y,z$, no todos iguales a $0$, se cumple la siguiente desigualdad: $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$$ Determine todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad. Milan Mitreski, Serbia

9.3, 9.4 $9.3$ Un número natural se llama libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de ningún número primo. Para un número natural $a$, consideramos el número $f(a) = a^{a+1} + 1$. Demuestre que: a) si $a$ es par, entonces $f(a)$ no es libre de cuadrados; b) existen infinitos $a$ impares para los cuales $f(a)$ no es libre de cuadrados. $9.4$ Llamaremos $2n$-paralelogramo generalizado a un polígono convexo con $2n$ lados, tal que, recorridos consecutivamente, el $k$-ésimo lado es paralelo e igual al $(n+k)$-ésimo lado para $k=1, 2, ... , n$. En un sistema de coordenadas rectangulares, se da un paralelogramo generalizado con $50$ vértices, cada uno con coordenadas enteras. Demuestre que su área es al menos $300$.