Se escriben ceros en todas las casillas de un tablero de $5\times 5$. Podemos elegir una casilla arbitraria y aumentar en 1 el número en esta casilla y en las casillas que tienen un lado común con ella. ¿Es posible obtener el número 2012 en todas las casillas simultáneamente?

3 Sean $n$, $m$ y $k$ enteros positivos que satisfacen $(n-1)n(n+1)=m^k.$ Demuestre que $k=1.$

2 Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $PQ$. Un círculo $k$ es tangente internamente a $\omega$ y al segmento $PQ$ en $C$. Sea $AB$ la tangente a $k$ perpendicular a $PQ$, con $A$ en $\omega$ y $B$ en el segmento $CQ$. Demuestre que $AC$ biseca el ángulo $\angle PAB$.

1 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ para las cuales \[f(x+y)=f(x-y)+f(f(1-xy))\] se cumple para todos los números reales $x$ e $y$

3 Encuentre todos los $x$ positivos tales que la sucesión $x - [x]$ , $[x]$ , $x$ sea una progresión geométrica: $$\frac{[x]}{x - [x]} = \frac{x}{[x]}$$ MR.1

2 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen: $$f(2025x - f(0)) = 2025x^{2}$$ para todo $x \in \mathbb{R}$. MR.1

1 Desde un punto $A$ fuera de un círculo de radio $R$, se trazan una línea secante que pasa por el centro y una línea tangente. La secante corta al círculo en $C$ y $D$ ($AC < AD$), y la tangente toca al círculo en $B$. Encuentre la longitud de $CB$ si $AC = a$. MR.1

3 Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$ se define como el mayor entero tal que, para todo entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$ puede escribirse como la suma de $\,k\,$ cuadrados positivos. a.) Demuestre que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4$. b.) Encuentre un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14$. c.) Demuestre que existen infinitos enteros $\,n\,$ tales que $\,S(n)=n^{2}-14$.

2 Sea $S$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $S_{x}, S_{y}, S_{z}$ los conjuntos que consisten en las proyecciones ortogonales de los puntos de $S$ sobre los planos $yz$, $zx$ y $xy$, respectivamente. Demuestre que \[ \vert S\vert^{2}\leq \vert S_{x} \vert \cdot \vert S_{y} \vert \cdot \vert S_{z} \vert, \] donde $\vert A \vert$ denota el número de elementos en el conjunto finito $A$. Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular desde dicho punto al plano.

1 En el plano, sea $\,C\,$ un círculo, $\,L\,$ una recta tangente al círculo $\,C\,$ y $\,M\,$ un punto en $\,L$. Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos $\,P\,$ con la siguiente propiedad: existen dos puntos $\,Q,R\,$ en $\,L\,$ tales que $\,M\,$ es el punto medio de $\,QR\,$ y $\,C\,$ es el círculo inscrito del triángulo $\,PQR$.