2 Para un entero positivo fijo $k$, demuestre que existen infinitos números primos $p$ tales que existe un entero $w$, donde $w^2-1$ no es divisible por $p$, y el orden de $w$ módulo $p$ es el mismo que el orden de $w$ módulo $p^k$. Autor: James Rickards

8 Hay $2n$ puntos en el plano. Ninguno de ellos es colineal y no hay cuatro que pertenezcan a un mismo círculo. Demuestre que es posible dividir estos puntos en $n$ pares y cubrir cada par de puntos con un círculo que no contenga ningún otro punto.

1 En el triángulo $ABC$, $\angle{BAC}=60^\circ$ y el incírculo de $ABC$ toca a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las rectas $PC$ y $QB$ se cortan en $G$. Sea $R$ el circunradio de $BGC$. Encuentre el valor mínimo de $R/BC$. Autor: Alex Song

3 Llamamos a un entero positivo $q$ un $denominador \quad conveniente$ para un número real $\alpha$ si $\displaystyle |\alpha - \dfrac{p}{q}|<\dfrac{1}{10q}$ para algún entero $p$. Demuestre que si dos números irracionales $\alpha$ y $\beta$ tienen el mismo conjunto de denominadores convenientes, entonces $\alpha+\beta$ o $\alpha- \beta$ es un entero.

1993.14 Demuestre que la suma de los cuadrados de las distancias desde un punto $P$ a los vértices de un triángulo $ABC$ es mínima cuando $P$ es el baricentro del triángulo.

2003.G7.3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $\angle{B}=60^\circ$. El círculo con diámetro $AC$ corta a las bisectrices internas de $A$ y $C$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente $(M\neq{A},$ $N\neq{C})$. La bisectriz interna de $\angle{B}$ corta a $MN$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Demuestre que $BR\leq{RS}$.

2005.G6 Sean $AM$ y $AN$ las tangentes a un círculo $\Gamma$ trazadas desde un punto $A$ ($M$ y $N$ yacen sobre el círculo). Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma$ en $B$ y $C$, con $B$ entre $A$ y $C$ tal que $AB: BC = 2: 3$. Si $P$ es el punto de intersección de $AB$ y $MN$, calcule la razón $AP: CP$.

2009.G5.3 Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos tales que $B$ es el punto medio del segmento $AC$ y sea $P$ un punto tal que $\angle PBC=60^\circ$. Se construye el triángulo equilátero $PCQ$ de tal manera que $B$ y $Q$ se encuentran en semiplanos diferentes con respecto a $PC$, y se construye el triángulo equilátero $APR$ de tal manera que $B$ y $R$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a $AP$. Sea $X$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $PC$, y sea $Y$ el punto de intersección de las rectas $BR$ y $AP$. Demuestre que $XY$ y $AC$ son paralelos.

2012.G6.6 6. Considere un triángulo $ABC$ con $1 < \frac{AB}{AC} < \frac{3}{2}$. Sean $M$ y $N$, respectivamente, puntos variables de los lados $AB$ y $AC$, distintos de $A$, tales que $\frac{MB}{AC} - \frac{NC}{AB} = 1$. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $AMN$ pasa por un punto fijo distinto de $A$.

2018.G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ y ortocentro $H$. El círculo con centro $X_A$ pasa por los puntos $A$ y $H$ y es tangente al circuncírculo del triángulo $ABC$. De manera similar, defina los puntos $X_B$ y $X_C$. Sean $O_A$, $O_B$ y $O_C$ las reflexiones de $O$ con respecto a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que las rectas $O_AX_A$, $O_BX_B$ y $O_CX_C$ son concurrentes.