6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Las bisectrices interna y externa del ángulo $\angle BAC$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $M$ el punto en el segmento $AC$ tal que $MC = MB$. La tangente a $\omega$ en $B$ se encuentra con $MD$ en $S$. Los circuncírculos de los triángulos $ADE$ y $BIC$ se cortan en $P$ y $Q$. Si $AS$ corta a $\omega$ en un punto $K$ distinto de $A$, demuestre que $K$ yace sobre $PQ$. Propuesto por Alexandru Lopotenco (Moldavia)

3. Un cuadrado de 6×6 ha sido recubierto por 18 dominós. Demuestre que existe una línea que divide al cuadrado en dos partes, cada una de las cuales también está recubierta por dominós.

1 María tiene $14$ días para entrenar para una olimpiada. Las únicas condiciones son que no puede entrenar durante $3$ días consecutivos y no puede descansar durante $3$ días consecutivos. Determine cuántas configuraciones de días (de entrenamiento) puede realizar para alcanzar su objetivo.

5 Sean $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ $2n$ enteros positivos tales que los $n+1$ productos \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] forman una progresión aritmética estrictamente creciente en ese orden. Determine el entero positivo más pequeño que podría ser la diferencia común de dicha progresión aritmética.

1. Una sucesión finita de enteros $a_0,a_1,...,a_n$ se llama cuadrática si $|a_k -a_{k-1}| = k^2$ para $n\geq k\geq1$. (a) Demuestre que para cualesquiera dos enteros $b$ y $c$, existen un número natural $n$ y una sucesión cuadrática con $a_0 = b$ y $a_n =c$. (b) Encuentre el número natural $n$ más pequeño para el cual existe una sucesión cuadrática con $a_0 = 0$ y $a_n = 1997$.

2 2. Sea ABCD un cuadrilátero convexo. Encuentre la condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto P en el interior del cuadrilátero tal que los triángulos ABP, BCP, CDP y DAP tengan la misma área.

4. Sean $v$ y $w$ dos raíces elegidas al azar de la ecuación $z^{1997} - 1 = 0$ (todas las raíces son equiprobables). Encuentre la probabilidad de que $\sqrt{2+\sqrt{3}} \le |v+w|$.

3 Hay $169$ dígitos distintos de cero escritos alrededor de un círculo. Demuestre que pueden dividirse en $14$ bloques no vacíos de dígitos consecutivos de tal manera que, entre los $14$ números naturales formados por los dígitos en esos bloques, al menos $13$ de ellos sean divisibles por $13$ (los dígitos en cada bloque se leen en sentido horario).

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con una altura $AD$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$. El círculo $\Omega$ pasa por los puntos $A$ y $B$, y es tangente a la recta $AC$. Sea $BE$ el diámetro de $\Omega$. Las rectas $BH$ y $AH$ intersecan a $\Omega$ por segunda vez en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $EK$ y $AB$ se intersecan en el punto $T$. Demuestre que $\angle BDK=\angle BLT$.

4 Considere un poliedro convexo cuyas caras son triángulos. Demuestre que es posible colorear sus aristas de rojo o azul, de tal manera que se satisfaga la siguiente propiedad: se puede viajar desde cualquier vértice hasta cualquier otro vértice pasando solo por aristas rojas, y también se puede hacer esto pasando solo por aristas azules.