3 Sita y Geeta son dos hermanas. Si la edad de Sita se escribe después de la edad de Geeta, se obtiene un cuadrado perfecto de cuatro dígitos. Si se repite el mismo ejercicio después de 13 años, se obtendrá otro cuadrado perfecto de cuatro dígitos. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de Sita y Geeta?

1 María tiene $14$ días para entrenar para una olimpiada. Las únicas condiciones son que no puede entrenar durante $3$ días consecutivos y no puede descansar durante $3$ días consecutivos. Determine cuántas configuraciones de días (de entrenamiento) puede realizar para alcanzar su objetivo.

5 Un rectángulo $\mathcal R$ está dividido en un conjunto $\mathcal S$ de un número finito de rectángulos más pequeños con lados paralelos a los lados de $\mathcal R$, de tal manera que no hay tres rectángulos en $\mathcal S$ que compartan una esquina común. Una hormiga se encuentra inicialmente en la esquina inferior izquierda de $\mathcal R$. En una operación, podemos elegir un rectángulo $r$ en $\mathcal S$ tal que la hormiga se encuentre actualmente en una de las esquinas de $r$, digamos $c$, y mover la hormiga a una de las dos esquinas de $r$ adyacentes a $c$. Suponga que, después de un número finito de operaciones, la hormiga termina en la esquina superior derecha de $\mathcal R$. Demuestre que algún rectángulo $r$ en $\mathcal S$ fue elegido en al menos dos operaciones.

5 Igual que 9.6

4 Jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego en el plano de coordenadas. El jugador $A$ esconde una nuez en uno de los puntos con coordenadas enteras, y el jugador $B$ intenta encontrar esta nuez escondida. En un movimiento, $B$ puede elegir tres puntos diferentes con coordenadas enteras, luego $A$ indica si estos tres puntos junto con el punto de la nuez yacen sobre el mismo círculo o no. ¿Puede $B$ garantizar encontrar la nuez en un número finito de movimientos?

3 Encuentre todas las funciones $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ tales que \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right) \] se cumple para todo $x,y\in\mathbb R^+.$

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todo $x, y$ reales, se cumple la siguiente relación: $$(x+y) \cdot f(x+y)= f(f(x)+y) \cdot f(x+f(y)).$$ Propuesto por Vadym Koval (Ucrania)

2 Considere un grafo $G$ con $2019$ nodos. Definamos la inversión de un vértice $v$ como el siguiente proceso: para cada otro vértice $u$, si existía una arista entre $v$ y $u$, esta se elimina, y si no existía, se añade. Queremos minimizar el número de aristas en el grafo mediante varias inversiones (se permite invertir el mismo vértice varias veces). Encuentre el número más pequeño $M$ tal que siempre podamos hacer que el número de aristas en el grafo no sea mayor que $M$, para cualquier elección inicial de $G$. Propuesto por Arsenii Nikolaev, Anton Trygub (Ucrania)

2 Dado un número primo $p\ge 3,$ y un entero $d \ge 1$. Demuestre que existe un entero $n\ge 1,$ tal que $\gcd(n,d) = 1,$ y el producto \[P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})} \text{ no es divisible por } p^n.\]

1 Sea $ S_n$ la suma de los primeros $ n$ números primos. Demuestre que para todo entero positivo $ n$ , existe un cuadrado perfecto entre $ S_n$ y $ S_{n+1}$ .