1 Hay 100 boxeadores, cada uno de ellos con diferentes fuerzas, que participan en un torneo. Cualquiera de ellos pelea contra los demás solo una vez. Varios boxeadores forman una conspiración. En uno de sus combates, esconden en su guante una herradura. Si en una pelea, solo uno de los boxeadores tiene una herradura escondida, él gana la pelea; de lo contrario, gana el boxeador más fuerte. Se sabe que hay tres boxeadores que obtuvieron (estrictamente) más victorias que los tres boxeadores más fuertes. ¿Cuál es el número mínimo de conspiradores? Propuesto por N. Kalinin

Sean $d_1, d_2, \dots, d_n$ enteros positivos que son divisores de $1995$. Demuestre que existen $d_i$ y $d_j$ entre ellos, tales que el denominador de la fracción irreducible $d_i/d_j$ es al menos $n$.

1. 50 caballeros del Rey Arturo estaban sentados a la Mesa Redonda. Una copa de vino blanco o tinto estaba frente a cada uno de ellos. Se sabe que al menos una copa de vino tinto y al menos una copa de vino blanco estaban sobre la mesa. El rey aplaudió dos veces. Después del primer aplauso, cada caballero con una copa de vino tinto frente a él tomó una copa de su vecino de la izquierda. Después del segundo aplauso, cada caballero con una copa de vino blanco (y posiblemente algo más) frente a él entregó esta copa al vecino de la izquierda de su vecino de la izquierda. Demuestre que algún caballero se quedó sin vino. Propuesto por A. Khrabrov, traducción incorrecta del húngaro.

3 Sea $p$ un primo impar y sean $a,b,c$ enteros tales que los enteros $$a^{2023}+b^{2023},\quad b^{2024}+c^{2024},\quad a^{2025}+c^{2025}$$ son divisibles por $p$. Demuestre que $p$ divide a cada uno de $a,b,c$. $\quad$ Propuesto por Navilarekallu Tejaswi

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $CD$ la altura, $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro del $\triangle ABC$. La recta que pasa por el punto $D$ y es perpendicular a $OD$ interseca a $BC$ en $E$. Demuestre que $\angle DHE = \angle ABC$.

4 Demuestre que \[ a^2b^2(a^2+b^2-2) \geq (a+b)(ab-1) \] para todos los números reales positivos $a$ y $b.$

5 ¿Existen números primos $p$ y $q$ mayores que $3$, tales que $p^2-1$ sea divisible por $q$ y $q^2-1$ sea divisible por $p$?

2 Dos jugadores juegan un juego en un tablero infinito que consiste en cuadrados unitarios. El jugador $I$ elige un cuadrado y lo marca con $O$. Luego, el jugador $II$ elige otro cuadrado y lo marca con $X$. Juegan hasta que uno de los jugadores marca una fila completa o una columna completa de cinco cuadrados consecutivos, y este jugador gana el juego. Si ningún jugador puede lograr esto, el resultado del juego es un empate. Demuestre que el jugador $II$ puede evitar que el jugador $I$ gane.

2 Calcule el número de enteros entre $1$ y $100$, inclusive, que tienen un número impar de factores. Note que $1$ y $4$ son los dos primeros números con esta propiedad.

3 Un ratón está jugando al juego de la rayuela para ratones. En la rayuela para ratones hay una línea recta de $11$ casillas, y comenzando en la primera casilla, el ratón debe llegar a la última casilla saltando hacia adelante $1$, $2$ o $3$ casillas a la vez (por lo tanto, en particular, el primer salto del ratón puede ser a la segunda, tercera o cuarta casilla). El ratón no puede saltar más allá de la última casilla. Calcule el número de formas que existen para completar la rayuela para ratones.