1 Hay seis puntos en un plano. Escribimos las distancias entre cada par de ellos. Sea $d$ el menor de estos números y $D$ el mayor. Demuestre que $D \geq d \sqrt{3}$.

3 Un ratón está jugando al juego de la rayuela para ratones. En la rayuela para ratones hay una línea recta de $11$ casillas, y comenzando en la primera casilla, el ratón debe llegar a la última casilla saltando hacia adelante $1$, $2$ o $3$ casillas a la vez (por lo tanto, en particular, el primer salto del ratón puede ser a la segunda, tercera o cuarta casilla). El ratón no puede saltar más allá de la última casilla. Calcule el número de formas que existen para completar la rayuela para ratones.

2 Dos jugadores juegan un juego en un tablero infinito que consiste en cuadrados unitarios. El jugador $I$ elige un cuadrado y lo marca con $O$. Luego, el jugador $II$ elige otro cuadrado y lo marca con $X$. Juegan hasta que uno de los jugadores marca una fila completa o una columna completa de cinco cuadrados consecutivos, y este jugador gana el juego. Si ningún jugador puede lograr esto, el resultado del juego es un empate. Demuestre que el jugador $II$ puede evitar que el jugador $I$ gane.

2 Sea el incírculo del triángulo $ABC$ que corta a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en $D$, $E$, $F$, y sea el $A$-ex-círculo que corta a las rectas $BC$, $CA$, $AB$ en $P$, $Q$, $R$. Sea la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $BC$ que corta a las rectas $EF$, $QR$ en $K$, $L$. Sea la intersección de $LD$ y $EF$ igual a $S$, y la intersección de $KP$ y $QR$ igual a $T$. Demuestre que $A$, $S$, $T$ son colineales.

3 El polinomio $ P(t)$ es tal que para todo $ x$ real, \[ P(\sin x) + P(\cos x) = 1. \] ¿Cuál puede ser el grado de este polinomio?

4 Demuestre que ningún número de la forma $10^{-n}$, $n\geq 1$, puede representarse como la suma de recíprocos de factoriales de diferentes enteros positivos.

1 En el triángulo $ABC$ con $CA=CB$, el punto $E$ se encuentra en el circuncírculo de $ABC$ tal que $\angle ECB=90^{\circ}$. La recta que pasa por $E$ y es paralela a $CB$ corta a $CA$ en $F$ y a $AB$ en $G$. Demuestre que el centro del circuncírculo del triángulo $EGB$ se encuentra en el circuncírculo del triángulo $ECF$. Propuesto por Prithwijit De

3 Sea $n$ un número natural mayor o igual a $9$. ¿Cuál de los dos números $(\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ y $(\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}$ es mayor?

1 Dado el número $188188...188$ (el número $188$ está escrito $101$ veces). Algunos dígitos de este número son tachados. ¿Cuál es el múltiplo de $7$ más grande que se podría obtener?

1 Hay $20$ bolas en una bolsa. $a$ de ellas son rojas, $b$ de ellas son blancas y $c$ de ellas son negras. Se sabe que: • si duplicamos las bolas blancas, la probabilidad de extraer una bola roja es $\dfrac 1{25}$ menor que la probabilidad de extraer una bola roja al principio, y • si retiramos todas las bolas rojas, la probabilidad de extraer una bola blanca es $\dfrac 1{16}$ mayor que la probabilidad de extraer una bola blanca al principio. Encuentre $a,b,c$.